赤いコインと白いコイン



  • 夜も更け静まり返った広い館にヤマネは独りぼっちだ。

    こんな夜は早く寝てしまうに限る。

    寝酒を一杯あおり床についたヤマネだったが……

    そういえば暇潰し用にとウェンズデイが用意してくれたパズルがあったっけと思い出した。

    見かけは簡単そうだったのですぐにできそうで今まで放置していたのだけれども、眠れそうにない今夜の暇潰しにもってこいだろう。

    「おじちゃんへ。私たちがいなくて寂しいでしょう。眠れない夜にはこのパズルを考えるとすぐにアクビが出てくるよ、そしたらすぐに寝てね。

    では問題です。

    赤いコインが3枚と白いコインが3枚あります。
    この中に本物のコインが3枚あります。本物のコインの重さは1ギラムです。そして残りの3枚は偽コインです。偽コインの重さは0.95ギラムです。
    赤いコインが3枚とも偽物だったり赤いコインが3枚とも本物だったりすることはありません。
    天秤を3回使って偽コインを全部特定してね。
    おやすみなさい。」

    床のなかでヤマネがちょっと考えているうちにだんだんと目がさえてきてしまった。

    起き上がり机にむかい、紙に絵を描いてみる。しばらくしたら……

    (ほんとだ……眠くなってきた)

    ヤマネは床にふたたびついた。

    ■問

    この問題には解があるか



  • 問い2

    追加の制限が以下のものだったとします。

    1回目の天秤計測の結果を知らないまま2回目の天秤計測をしなければいけません。
    また、1回目と2回目の天秤計測の結果を知らないまま3回目の天秤計測をしなければいけません。

    この制限がついた状況で解があるでしょうか



  • @Hannibal さん
    面白い問題ありがとうございます。
    そろそろ皆さんも夏休みの旅行などから帰ってくる頃だと思いますので、
    今回は即答を自粛します。
    3日後にまだ問題が続いている場合はそれから参加させてもらいます。
    By ヒネクレ者のマーモ



  • @Hannibal さん
    問2
    この問題は、「独立して行った3回の測定結果を全ての測定終了後に比較考量し、偽コインを全て弁別する
    ことができるか」という問題と読み替えて良いですか。



  • @riffraffさん
    問い2は
    「他の測定結果を知らずに独立して行った3回の測定結果を全ての測定終了後に比較考量し、偽コインを全て弁別することができるか」
    という問題です。



  • @マーモセット さん

    御配慮を有り難うございます

    (実は意外かもしれませんが数時間かかって作成した問題を5分で解かれるとまことに気分がいいのは内緒です。)

    マーモセットさん、素早いっ


  • Global Moderator

    @Hannibal さん

    このウェンズデイのパズル(問1)は、前回の似た名前のパズルと比べると、簡単すぎることありませんか? ヤマネなら、酒が入っていても、眠くなるどころか一睨みで解いてしまいそうです。何か罠が仕掛けてあるのでしょうか...。

    作ったパズルがすぐに解かれてしまうのと、誰も解けないのと、どちらかを選べと言われると、前者ですね。後者は、自分しか分からない変な問題になっている不安があります(笑



  • @Hannibal さん
    承知いたしました。(^▽^)/



  • @riffraff  つづき

    奇麗なビジュアル解がないか考え中です。デンドログラム??



  • 意外と簡単のようでなによりです

    @ソム さん
    罠はありません。
    ヤマネは別解が多数ありそうだと気がつき一瞬だけ目が冴えわたったのです。けれども全容を解明するにはほど遠く、パターンを見いだそうと、いっぱい絵を描きましたが、とうとう眠くなってしまいました。

    (実は出題者も全容を把握しているわけではありません)

    @riffraff さん
    デンドログラム、初めて知りました。プレゼンテーション大事ですよねえ

    ■皆様へ
    今のところ問い2については3通りの解を持っています。
    ①左右の皿に3回とも1枚づつ乗せる
    ②左右の皿に3回とも2枚づつ乗せる
    ③左右の皿に3枚づつ乗せるのが1回ある。

    問1については上記の事情からかなりたくさんのバリアントがありうると思います。

    ===
    ところで。「赤いコインが3枚とも本物、あるいは3枚とも偽物ということはない」というやや不自然な設定ですが……こうしたときに問い2が成立しうると気がついただけのハナシなのです。

    出題の前日に私は次のようなパズルをAさんから出題されました。

    6枚中、3枚が本物、3枚が偽物、本物は1ギラム、偽物は0.95ギラム。天秤を3回使って偽物を判定するロジックは?
    また、《問い2同様に》「他の測定結果を知らずに独立して行った3回の測定結果を全ての測定終了後に比較考量し、偽コインを全て弁別することができるか」条件をつけたときには?

    前者はすぐに解けましたが後者についてはAさんも解を知らないオープンプロブレム状態でした。
    後者については偽物のアリカのパターンは全20通りあります。私はそのうち18通りをカバーできる計測方法をひねりだしたのですが、残る2通りが分別できません。
    その2通りを排除できる表現が
    「赤いコインが3枚とも本物、あるいは3枚とも偽物ということはない」
    なのでした。


  • Global Moderator

    @Hannibal さん

    後者については偽物のアリカのパターンは全20通りあります。私はそのうち18通りをカバーできる計測方法をひねりだしたのですが、残る2通りが分別できません。
    その2通りを排除できる表現が

    出題の経緯が分かると納得です。6コイン中3ニセで、3回比較は、試してみた限り難しそうですね。2x3x3 < 20 なので、釣合いを含む場合を使わないと情報が足りません。すると、3対3の比較はできないことまでは分かります。あとは、1対1、2対2の比較を組み合わせて、20通りの表現ができる必要があり、、、全探索すれば可能かどうか分かると思いますが、もっと直観的に出来る出来ないを知りたいです。ビジュアル解に期待です。


  • Global Moderator

    @riffraff さん

    奇麗なビジュアル解がないか考え中です。デンドログラム??

    デンドログラムといえば、、、生物学では、分類の系統樹がそうですね。分子生物学の分野では、分子進化系統樹や発現解析のクラスタリングなどで、論文によく掲載されます。

    0_1503665576102_yamane-25.png

    夢を見た。デンドログラムに乗って空高く。伸びる伸びるどこまでも。枝分かれの先に乗るわたし(謎



  • @Hannibal さん

    ①左右の皿に3回とも1枚づつ乗せる
    ②左右の皿に3回とも2枚づつ乗せる
    ③左右の皿に3枚づつ乗せるのが1回ある。

    ⓵と③はよく似たダイアグラムで書けましたが、②はorz
    俯瞰的なアルゴリズムはどこに(;''∀'')

    27:0:50追加
    ②当たりは尽きましたが、ダイアグラム化は難儀、したがって確認未済
    日暮れて道遠しです。(;''∀'')



  • @ソムさん
    デンドロの夢の絵がどこかナウシカみたいで。( ̄O ̄)

    @riffraff さん
    当たりがっ!
    3びきの蛇が互いに尻尾を加えていたりして?(申し訳ありません、テキトーなことをいい放っております)

    《赤いメダルと白いメダルと青いメダル(仮題)》ができあがりました。



  • @Hannibal さん
    2個ずつ、結局えらく座りの悪い解しか見つかっておりません。説明の書き方も未だ分かりません(´;ω;`)


  • Global Moderator

    @Hannibal さん

    デンドロの夢の絵がどこかナウシカみたいで。( ̄O ̄)

    言われてみれば確かに! 王蟲の触手?ですね。

    《赤いメダルと白いメダルと青いメダル(仮題)》ができあがりました。

    これまた楽しみです。


  • Global Moderator

    @Hannibal さん

    私もヴィジュアル解について少しだけ考えてみましたが、難しいです。例えば今日は、天秤作業を離散ベクトル?の内積に帰着させてみましましたが、見通しが良くなるわけでもありませんでした。高次元空間を頭の中でグルグルできる人ならそれでよいのかもしれませんが、普通は無理です(笑


  • Global Moderator

    ちなみにこういう考え方です。説明のために、6枚のコイン、そのうちニセ3枚、3回天秤を使うという問題とします。(「おじちゃんへ。私たちがいなくて寂しいでしょう。眠れない夜にはこの下を読むとすぐにアクビが出てくるよ、そしたらすぐに寝てね。」)

    コインに a,b,c,d,e,f と名前を付けます。すると、コインの素性(本物・偽物)は、a~f を重量0または1とする6次元の離散ベクトル (a,b,c,d,e,f)で表現できます。これをコインベクトルと呼びます。ただし、このように出来るためには、秤作業で常に同数のコインを左右に載せるという(あたりまえの)前提のもとです。

    ここで、秤を使うとは、秤の左右に載せた0 または1の合計の差を左右で取り、その符号を見ることに等しいです。ここで、秤ベクトルを導入します。それぞれのコインを秤の左に載せることを -1, 右に載せることを 1, 載せないことを 0 と表すと、秤の使いかたは、例えば、(0,1,-1,-1,1,0)のように表現できます(ただし、先に書いた前提より1と-1の総数は等しいという制限があります)。すると、左右の重さの合計の差は、コインベクトルと秤ベクトルの内積になります。知ることができるのは、この符号なので、秤を使うとは、この内積の符号、すなわち、コインベクトルと秤ベクトルのなす角度(鋭角・直角・鈍角) を知ることに等しくなります。

    以上より、元の問題は、次のような6次元空間内のベクトルの配置問題になります:
    要素の値が0または1である離散ベクトルのうち、1の数が3つである部分集合を考える。このとき、このコイン・ベクトル集合に対し、3つの離散ベクトル(ただし、要素は、-1,0,1であり、1とー1の数が等しい)を見つけよ、ただし、コイン・ベクトル集合中のベクトルとなす角度(鋭角・直角・鈍角)の組み合わせが、どのコイン・ベクトルに対しても異なっていなければならない。

    たぶん、6次元人には、そこそこヴィジュアルになったのでは(嘘



  • @ソム さん
    確かに眼が回る(^▽^)/

    <追加>29:1:18
    触発されて色々考えていました(;''∀'')
    思いついてざっと見ただけですので、ミスかもですが、
    2個、2個、1個と言う別解を見つけたかも知れません。


  • Global Moderator

    @riffraff さん

    私のほうは、ベクトルとかいいつつ、まだ最初に思いついた「③左右の皿に3枚づつ乗せるのが1回ある。」解しか見つけていなかったりします。


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