34.正四面体ケーキ(思考のおやつ2)


  • Global Moderator

    正三角形の3つの頂点から、それぞれ向かい合う辺に向かって直線を引きます。すると、三角形は3つの線によって6つに分割されます。

    さて、ここに正四面体の形をしたケーキがあります。この4つの頂点からそれぞれナイフを1回入れ、向かい合うを二等分するように切ります(切っている間は、形を崩さないようにします)。

    :4回のナイフ操作によって、ケーキは何分割されるでしょうか?
    回答解禁:23日(日曜日)よる9じ

    出典:日本数学オリンピック予選

    お詫びと訂正(7/22)

    記憶で書いたために、大ボケをかましてしまいました。上の問題を考えて下さった方は、あれ?と思ったもしれません。ナイフの入れ方が複数あります。

    正しい問題はこうです:

    さて、ここに正四面体の形をしたケーキがあります。この4つの頂点からそれぞれナイフを入れ、「正四面体の辺を通り向かい合うを二等分する」ように切ります。ナイフの入れ方は頂点ごとに3通りずつあり、全ての方向でナイフを入れます(切っている間は、形を崩さないようにします)。

    :計12回のナイフ操作によって、ケーキは何分割されるでしょうか?

    1回のナイフ操作ごとに、このように切るということです↓
    0_1500696795733_polyhderon-cake.png

    最初の(たぶん出典とは違っている問題)の回答解禁:これまでの予定どおりお答え下さい。もし可能なら。

    訂正後の問題の回答解禁:26日(水曜日)よる9じ



  • ラズベリー・パイ記事に触発されて、3D画像を作れないかパソコンを調べたら、3D関連のソフトが1つ見つかり使ってみました。

    最初問題回答

    まだ、使い方が分からないので、あれこれ勝手にいじって画像を作ってみました。

    6本ある辺のうち4個がカットに使われますが、カットされない辺を選ぶ時、辺が隣同士の時と離れている時で状況が変わるので、それぞれカットしてみました。

    ケース1、残りの辺が隣同士の時 12個
    0_1500811881183_四面体1 - コピー.png

    ケース2、残りの辺が離れている時 14個
    0_1500811905748_四面体2 - コピー.png

    左側それぞれ、床に置いた正四面体を上から見ている状態です。
    右側はそれを分解してバラバラにしたものです。


  • Global Moderator

    @マーモセット さん

    Re: 最初問題回答

    まだ、使い方が分からないので、あれこれ勝手にいじって画像を作ってみました。

    凄いです。ついにマーモさんも3D進出ですね。中途半端な問題も解いて下さったのですね。これは、本番の問題も解かれてしまうのでしょうね(涙 この調子だと、私の解説もいらなさそうです(ムキー!!



  • @マーモセット さん
    奇麗です。現在別件でバタバタしております(^^♪。
    楽しく拝見しました。



  • @マーモセット さん

    3Dソフトお使いになったのですね。
    私は頭のなかでこねくり回しており、平面に置き直したり。
    訂正が出るまえの問題で、「??回答は考え方で変わるのでは?」と考えたまま放置状態でした。

    どんどん進化していくので(使う道具が)老化しつつある頭がついていかないのが悲しい。(/ _ ; )



  • @マーモセット さん

    すっ凄いです。
    何でもスイスイ使いこなしてしまうのですね\(^o^)/。
    私は3Dソフトは挫折中で、頭の中ではぐ・り・ぐ・りできず、
    今回の問題は謹んで回答をご辞退しようと考えているところです。



  • Windows10に入っている3D builderという無料ソフトを使いました。
    機能はそれほど充実していませんが、複雑でない分、まったくの初心者でもどうにか今回の問題のイメージ図ができました。
    説明とかも読まずに、適当に使ったので、本来の使い方とは違うやり方だったのかもしれません。
    カットする部分も目分量で決めたので、若干ズレがあると思います。

    私は頭のなかでこねくり回しており、平面に置き直したり。

    問題を考えている時は、私も同じです。
    訂正後の問題の方が、対称性があり、シンプルに考えられると思います。
    私の頭の中での回答までの道筋は、訂正後の問題にもつながっているので、訂正問題回答解禁後に書きこもうと考えています。


  • Global Moderator

    @オメガ3 さん

    今回の問題は謹んで回答をご辞退しようと考えているところです。

    あとで、別コーナー(「ラズベリー・パイ」スレッド)で、Mathematicaを使ってこの問題を一緒に解いてみましょう!



  • そ、そんな、、、無理難題を、、、(/o\)

    あの~、12回カットするということは、切断面は6つということですか?


  • Global Moderator

    @オメガ3 さん

    そ、そんな、、、無理難題を、、、(/o\)

    あの~、12回カットするということは、切断面は6つということですか?

    ふふふ。「ソム先生」は、いつも生徒に大きく期待しているのです(笑)。12回カットの意味は、切断面が12面ということです。



  • @ソム 先生

    工作して考えました。私なりの回答を致します。
    「ラズベリー・パイ」スレッドのMathematicaでは、優しくご指導くださいね。



  • 素晴らしい回答が出る前に、、、

    回答

    紙とはさみを使いました。
    あまりに単純な答えですが、24分割です。
    6つの辺全てが切断面になるので、表面だけを見て考え、1面が6分割、4面あるので、24分割としました。



  • おずおずと失礼いたします、多分間違っていると思われますので、以下に昼休みにばたばたとこしらえました画像と回答を提示しまして皆様のご教示をいただきたくお願いいたします!

    回答です

    中身
    24個に分割されると思います。
    しかし改めてみると分かり難い画像になってしまってますね・・・
    ばっちり使いこなせているマーモセットさんはすごいです!
    ちなみに正4面体の3Dモデリングの仕方を度忘れして昼休みの大半を浪費してしまいました・・・
    cut



  • 12回カットの意味は、切断面が12面ということです。

    この部分がちょっと気がかりですが、

    訂正問題 回答

    立体的には
    0_1501071422505_四面体3 - コピー.png
    のようになりますが、考え方は正四面体を上から見て、正三角形の平面で捉え、その正三角形がどのように分割されているかを描き、その分割された部分の上に何個の立体が乗っているかを数えました。

    訂正問題では、頂点から辺に沿ってナイフを入れる場合、辺の端にも別の頂点があり、そこからナイフを入れた場合と同じ平面でカットすることになるため、12回のナイフ操作には重複があり、実質正四面体の辺の数と同じ6回のカットでよいことになります。
    0_1501071469685_正三角形1 - コピー.png
    1) はじめに正四面体の上の頂点から3方向にナイフを入れると、正三角形は6等分されます。
    この時点では底面の6つのブロックから三角錐が1つずつ頂点に向けて伸びている状態なので、6個のブロックにはそれぞれ①と記載します。

    これを、底面にある3つの辺を通る平面で順番にカットし、ブロック内の立体が増えるごとに記載する数を増やしていきます。
    底面にある3つの辺からカットした時それぞれのカット平面が交差する部分は、ちょうど正三角形を6分割したラインのところになるため、6つあるブロック内部で平面が交差することはなく、また、3つの切断平面は6つのブロック内部を必ず通過します。
    そのため、ブロック内に複数の立体があっても、カットする平面は1つのブロック内ではかならず1個の立体内部を通過し、平面による分割によって立体数は1つ増えていきます。

    2) では、1つの辺(青側)からカットしていきましょう。
    三角錐はそれぞれ2分割されるため、6ブロックに書いた数を①から②に変更します。
    この状態が丁度最初の問題の回答にある、ケース1に該当します。

    3) 次に別の辺(赤側)からカットしますが、1つのブロック内でカットされる立体は1つだけなので、立体の数は各ブロック1ずつ増え、書かれた数を②から③に変更します。

    4)最後に残った辺(黄色側)からカットすると、同様に立体は1つずつ増え、書かれた数を③から④に変更します。
    6ブロックの上にそれぞれ4個ずつ立体が乗っているので、
    4×6=24
    答え、24個

    最初の問題のケース2は赤と青の間から黄色を2分割している平面と、底面の1つの辺(黄色側)を通る平面の2つのカット平面がないため、少し複雑になっています。

    上の3)の状態から赤と青の間から黄色を上から2分割しているラインを抜いた時その下で立体がどうなっているかをイメージし、抜いたラインの隣同士で結合している立体と独立している立体を判断します。
    黄色の2つのブロック同士及び赤と青の隣り合っているではブロック同士を見た時、1つのブロック内でそれぞれ3つに分かれている立体の内2つは隣のブロックの立体と結合しているので、4分割の図の上では立体の数は
    0_1501071517804_正三角形2 - コピー.png
    のようになります。


  • Global Moderator

    皆さま、回答ありがとうございます。時間はほぼ同着でしたが、オメガ3 さんが、僅かに早く投稿されましたので、正解者として選ばせてもらいました。

    @フムフム さん

    以下に昼休みにばたばたとこしらえました画像と回答を提示しまして皆様のご教示をいただきたくお願いいたします!

    本職さんの参加でどきどきです。オメガ3 さんと同着で、正解です。しかし、上の理由で、正解者を譲って上げて下さいね。

    @マーモセット さん

    立体的には

    のようになりますが

    素晴らしく分かりやすい立体図ですね。正解です。ただ、ご指摘のように、図を作るだけでなく「考え方」も重要ですね。

    底面にある3つの辺からカットした時それぞれのカット平面が交差する部分は、ちょうど正三角形を6分割したラインのところになるため、6つあるブロック内部で平面が交差することはなく、

    重要な指摘です。@オメガ3 さんのように、観察と直観からえいと正解に至る場合もあれば、マーモさんのように緻密に考えて確実に正解に至るやり方もありますね。

    訂正問題では、頂点から辺に沿ってナイフを入れる場合、辺の端にも別の頂点があり、そこからナイフを入れた場合と同じ平面でカットすることになるため、12回のナイフ操作には重複があり、実質正四面体の辺の数と同じ6回のカットでよいことになります。

    あっ、これは私の出題ミスです。さすがです。ご指摘ありがとうございます。今、言われるまで気づきませんでした(笑 私はこの問題を以前に解いたのですが、そのときの記憶で書いたために、確認がおろそかになっていました。解には影響しない勘違いでホッとしています。


  • Global Moderator

    @フムフム さん

    ちなみに正4面体の3Dモデリングの仕方を度忘れして昼休みの大半を浪費してしまいました・・・

    CADで、正四面体は、どうやってモデリングするものなのですか?



  • \(^o^)/
    初めての正解者になりました。嬉しいです。

    フムフムさん、ほとんど同時にクリックしたのですね!
    私も、おずおず、ドキドキのクリックでした。

    マーモセットさん、
    >訂正後の問題の方が、対称性があり、シンプルに考えられると思います。
    無理だと思っていましたが、マーモセットさんのこの言葉で考えてみようかなと思いました。

    ソム先生
    >オメガ3 さんのように、観察と直観からえいと正解に至る場合もあれば、マーモさんのように緻密に考えて確実に正解に至るやり方もありますね。
    おっしゃる通りです。今後も、えい!と回答しようと思います。
    マーモセットさんは本当に緻密で素晴らしい、、、宇宙人ですものね!



  • ソムさんからの模範回答について事前に私がおぼろげながら予想したものを、まとまらず乱暴ですが以下に書いてみます。

    訂正バージョンのほうです。

    正四面体を内接する球を考えます。
    この球を6個の大円に添った平面で分割します。(注1)
    同時にこの球の表面も分割されますが、その個数が求める個数です。(注2)

    ※注1
    正四面体の2つの頂点を選んでその頂点を通る大円を考えます。
    大円の個数は4×3÷2です。

    ※注2
    ひとつの大円で分割された表面の数は2倍になります。



  • というわけで完全に間違えました。(笑



  • @ソム さん

    オメガ3 さんが、僅かに早く投稿されましたので、正解者として選ばせてもらいました。

    いえいえ、オメガ3 さんとマーモセットさんの素晴らしいご回答に読みいっております。自分はCADという道具頼みでしかも「これでええんかいな?」でしたので、オメガ3 さん!1着!です!

    CADで、正四面体は、どうやってモデリングするものなのですか?

    底面の正三角形の一辺を、隣り合う1辺を軸として回転させると三角錐が出来ます。次に回転に使った辺を軸にして軸に使った辺を回転させます。この2つの三角錐の底面の重なった点が三角錐の頂点になります。現在とっさに画像を作れませんので言葉で説明するとこんな感じです・・・


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