定説のない問題



  • 下記に、問題を記します。【答えに定説がないようです。】

    あなたはひどく酔っている。やっとの思いでX駅にたどりついた。自宅はA駅とB駅とのほぼ中間にあたり、どちらかの駅で降りたらタクシーに乗る予定だ。
    A駅行きの切符を買ってホームに出たら運良くA駅方面への列車が今にも出発しそうだったのであわてて駆け込み乗車をした。泥酔状態のあなたは座席につくなり安心して眠ってしまった。
    実はこのホームから出る列車は、A駅が終点の列車とA駅経由B駅終点の列車の二通りがある。酔っ払ったあなたがどちらの列車に乗るかは、確率がフィフティー・フィフティーである。ちょっとやそっとじゃ起きることができないほど泥酔で寝込んでいるあなたでも、終点につけば、車掌が起こしてくれるので、A駅終点の列車に乗ればあなたはすぐにA駅駅前でタクシーに乗り込み帰宅可能であるし、B駅終点の列車にのれば、乗り越し料金を支払ったのちにB駅駅前からタクシーに乗り込み帰宅可能である。

    列車の中で眠り込んだあなたは、列車が鉄橋の上を走る轟音で必ず目覚める。ただし、鉄橋をすぎればまたすぐに眠り込んでしまい、轟音で目覚めて起きていた間のことはすっかり忘れてしまう。A駅が次の駅でもうすぐだから起きていよう、などということはできない。ひどく酔っているからしかたがない。
    さて、X駅からA駅までに鉄橋がひとつある。A駅からB駅までのあいだにも鉄橋がまたひとつある。つまり、A駅が終点の列車ではあなたは鉄橋による目覚めをひとつ経験し、A駅経由B駅終点の列車では、あなたは鉄橋による目覚めをふたつ経験する。なお、ふたつの鉄橋による目覚めは区別ができないものとする。景色や、車内放送ほか、得られる情報はいっさいないものとする。

    問1:「(鉄橋の轟音で)あなたは目覚めた。めざめたあなたが、A駅終点の列車にのっている確率は?」
    くどいようだが念押しする。酔っ払ったあなたがどちらの列車に乗るかは、確率がフィフティー・フィフティーである。



  • 答えに定説がないので出題不可ですが、あまりにも奇妙な問題ですのでサロンにぶらさがる投稿をしてみました。


  • Global Moderator

    出題ありがとうございます。悪夢のような設定の問題ですね(笑

    トーマス・ベイズ氏「ワシを呼んだか?」(あの世からの声)
    私 がさごそ("Think Bayes"を鞄から取り出す音)

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    鉄橋の轟音で目覚める場所が最大2箇所あって、片方は、B駅終点の列車でのみ経験するのだから、直観的には、目覚めた時点でA駅終点の列車にのっている確率は、50%未満になっているように感じますね。ただ、値は、今目覚めたときの橋がどちらであるかの確率に依存していて、例えばそれが半々なら、A駅終点列車に乗っている確率は1/3になりそうです。しかし、どちらの橋なのかの確率は、例えば列車に乗ってからの時間にも依存しているはずで、未知です。もしA・B駅間の橋である確率が0なら、A駅終点の列車に乗っている確率は1/2になります。だから、正確には、0以上~1/2以下のどこかの値になるのではないでしょうか。

    Hypothesis A - A駅終点の列車に乗った。
    Hypothesis B - B駅終点(A駅経由)の列車に乗った。

    Data - 観測事実、鉄橋1の轟音で目覚める場合

    事前確率 p(H) 可能性 p(D|H) p(H)p(D|H) 事後確率 p(H|D)
    A 1/2 1 1/2 1/2
    B 1/2 1 1/2 1/2

    Data - 観測事実、鉄橋2の轟音で目覚める場合

    事前確率 p(H) 可能性 p(D|H) p(H)p(D|H) 事後確率 p(H|D)
    A 1/2 0 0 0
    B 1/2 1 1/2 1

    不明なのは、目覚めたのが、鉄橋1なのか、鉄橋2なのか? それらの可能性の比率は?



  • @ソム さんがおっしゃるに

    "どちらの橋なのかの確率は、例えば列車に乗ってからの時間にも依存しているはずで"

    とのことですが、時刻t_1から時刻t_2までの《時間》には依存していないというのが本問が含意しているところです。

    X駅からA駅の間の距離に比べてX駅からB駅の間の距離が圧倒的に長くてもさしつかえありません。
    鉄橋の位置も任意です。
    (記憶を失っていますし。)

    ところでベイズ改訂をなさりたいようですけれども。改訂するということは、ホームにいて駆け込み乗車したときに比べて、あなたがめざめたときに、何か新しい情報が得られているからですよね?
    何か知っていることが増えていますか?
    地図情報(土地監)や列車ダイヤ情報などは酔っぱらう前からの知識ですし。
    はて?
    ベイズ改訂は良い手なのでしょうか?

    ※せいいっぱいの煙幕をば


  • Global Moderator

    定説のない問題で@Hannibalさんが発言 :

    ホームにいて駆け込み乗車したときに比べて、あなたがめざめたときに、何か新しい情報が得られているからですよね?
    何か知っていることが増えていますか?

    上のベイズ的な考え方で、データ(観察事実)は、「鉄橋の轟音で目覚めた(ことを今認識している)」ということです。この観察が、事後確率に影響するという考え方です。例えば、もし仮にこれが「鉄橋2の轟音で目覚めた」ということなら、A終点列車であるという事後確率は0になります。しかし、今は橋がどちらか分からないので、事後確率へそこまでの影響はありませんが、何らかの影響はあります。


  • Global Moderator

    定説のない問題で@Hannibalさんが発言 :

    @ソム さんがおっしゃるに
    "どちらの橋なのかの確率は、例えば列車に乗ってからの時間にも依存しているはずで"
    とのことですが、時刻t_1から時刻t_2までの《時間》には依存していないというのが本問が含意しているところです。

    もしその種の依存関係が未知なのであれば、A終点列車に乗っているという事後確率は、0以上~1/2以下のどこかの値だが、不明ということになるのではないでしょうか。



  • おお……「めざめたこと」でベイズ改訂する作戦でしたか。

    ではこんなのはどうでしょう。

    あなたは列車が鉄橋上を走る轟音でめざめた。
    車内で子供が大きな声で親に説明をしているのが聞こえた。
    「ほら、ダイジャン橋だよ。最近鉄骨を空色に塗り替えたんだ、錆止めだよ。前の焦げ茶色のほうが好きだったなあ。」
    あなたは思い出す。ダイジャン橋といえば、X駅とA駅との間にある橋だ。
    あなたは少し気になった。B駅まで乗ると乗り越し料金を支払うことになる、いやだなあと。
    あなたはぼんやりと考えた。
    今、ダイジャン橋を通りすぎているのだから、A駅終点の列車に乗っている確率は1/2だろうなあと。

    だがこれは本当だろうか。あなたは少し迷いはじめた。ともあれ睡魔に負けてもしかたのない気持ちだ。眠い……

    問。ダイジャン橋の情報を得たあなたは自分が乗っている列車がA駅止まりである確率が1/2だと推定した。これは本当だろうか。

    そもそも新たに情報を得たにも関わらず、ホームで列車に駆け込んだときと同じく、自分が乗っている列車がA駅止まりである確率が1/2であるというのは腑に落ちない気もする。
    とまれ、ねむい。ねてしまおう……


  • Global Moderator

    定説のない問題で@Hannibalさんが発言 :

    そもそも新たに情報を得たにも関わらず、ホームで列車に駆け込んだときと同じく、自分が乗っている列車がA駅止まりである確率が1/2であるというのは腑に落ちない気もする。

    どちらの列車に乗っても同じようにダイジャン橋を通過するので、ダイジャン橋観察の事実が事後確率に影響しないのは、それで理に適っていると思いました。

    しかし、ダイジャン橋という言葉を夢の中で聞いていて(何しろ酔っぱらっていて、轟音がないと目覚めないのですから!)、幻であり、列車は既にどこか、ひょっとしたら、終点、あるいは、鉄橋から川に転落していて、「あなた」が幼き日の思い出を走馬燈で見ている可能性も、ごくごく僅かながらあります(笑



  • おお…… ソムさん……
    めざめたこと情報 と ダイジャン橋情報 と。前者ではベイズ改訂が行われ、その後に子供の声から後者を聞き、さらにベイズ改訂が行われたはずですよね。ただし2番目のベイズ改訂は新たな情報なしという解釈で確率の変動はなかったと……??では一番目のベイズ改訂の結果がいきのこっていますでしょうか?

    それがフィフティー・フィフティー……?

    ところで元の問題(ダイジャン橋情報なし)で次の設定追加があったらいかがでしょうか。

    あなたは鉄橋を渡る轟音で目覚めた。車内放送がある。
    「この列車はB駅終点です。C駅、D駅方面はB駅から乗り換えとなります。」

    あなたは睡魔に襲われながら考えた。
    《ということは?今渡った鉄橋がダイジャン橋である確率は1/2だろうか?もしダイジャン橋ならこのまま起きていてA駅で降りよう……いけない…眠い……とても起きてはいられない……》

    問。今渡った鉄橋がダイジャン橋である確率は?


  • Global Moderator

    定説のない問題で@Hannibalさんが発言 :

    めざめたこと情報 と ダイジャン橋情報 と。前者ではベイズ改訂が行われ、その後に子供の声から後者を聞き、さらにベイズ改訂が行われたはずですよね。ただし2番目のベイズ改訂は新たな情報なしという解釈で確率の変動はなかったと……??では一番目のベイズ改訂の結果がいきのこっていますでしょうか?

    私の説は微妙に違います:

    1. 橋の轟音で目覚めたことを認識→事後確率が0~1/2のどこかに変化
    2. 子どもの声を聞き「ダイジャン橋」を認識→事後確率が1/2に変化

    という2回の改訂です。


  • Global Moderator

    定説のない問題で@Hannibalさんが発言 :

    問。今渡った鉄橋がダイジャン橋である確率は?

    そのことに関する事前確率は示されていないので、不明だと思います(そして、これが、最初の書き込みで言うところの「不明なのは、目覚めたのが、鉄橋1なのか、鉄橋2なのか? それらの可能性の比率」に関係します)。


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