7枚のトランプカード



  • ジョーカーをのぞくトランプカード52枚が用意されていました。

    あなたの目の前で、私(=ハンニバル)は、トランプカード52枚をよくシャッフルしたのちに、7枚をランダムに抜き出して、テーブルの上に1枚づつ横1列に伏せて並べました。

    図解です。

    □ □ □ □ □ □ □

    全部が裏に伏せてありますから、どのカードがなんなのか、あなたには全くわかりません。

    私、ハンニバルは伏せてあるカードを1枚づつ、あなたに見えないようにしながら、そっと表を見ました。

    そしてあなたにこう言いました。

    「偶然ですが、このなかの4枚は同じ数です。ほかの3枚についての情報は、今は何も申し上げません。」

    更にハンニバルは言いました。

    「これから、この7枚のカードのうち1枚をあなたに選んでもらいましょう。その1枚が、今回たまたま同じ数になった4枚のうちの1枚ならば、あなたの勝ち、そうでなければあなたの負けです。

    さて、このままではあなたの勝率は4/7ですね。
    もっと勝率をあげてもらうために、私、ハンニバルはあなたに何回かの探索チャンスをあげましょう。

    1回の探索チャンスの形式は次のようなものです。
    あなたは7枚のカードから2枚を指差します。すると私は、もしもその2枚の数が同じならば「この2枚のカードの数は《ほげほげ》です。」と答えます。《ほげほげ》とは、たとえば、「3」とか「キング」となります。また、もしもその2枚の数が違うならば、私は「この2枚のカードの数は異なります。」とだけ答えます。
    以上が1回の探索チャンスとなります。

    複数回の探索チャンスを差し上げますので、あなたは勝率1を目指して下さい。
    差し上げる探索チャンスの回数をできるだけ小さくして頂きたいのですけれども、あなたは何回欲しいですか?」

    ハンニバルによる風変わりな問いかけに、あなたはどう答えますか。



  • Hannibalさん

    えらくめんどくさいテーマに足を突っ込みましたので、脱線の連続になりそうです。こちらが一区切りついてから、お話を始めようかと思っていましたが、パラで行くことにして、次の日曜から始める事にします。
    閑話休題

    トリビアルな答

    4回ですが、3回に以下にならないか菅家てみます



  • 想定していた解を記します。

    想定解

    7枚のカードに以下のように名前をつけます。

    ①② ③④ ⑤⑥ ⑦

    探索チャンスを3回使います。

    1回目は①と②と
    2回目は③と④と
    3回目は⑤と⑥と

    各探索チャンスにおいて、2枚のカードの数字が一致したならば、それを AA BB CC などと書くことにします。 AA などは、ゲームマスターであるハンニバルにより、たとえば、「これら2枚は数が一致しました。その数は3です。」などと情報を引き出せます。

    また、各探索チャンスにおいて、2枚のカードの数字が不一致だったならば、それらを、 tu vw xy などと表記します。ゲームマスターであるハンニバルにより、「これら2枚は数が不一致でした。」とだけ情報を引き出せることとなります。すなわち、以下がわかります。

    t≠u
    v≠w
    x≠y

    t〜yまで具体的な数字は不明です。

    要するに、A B C などの大文字はその数値がわかり、t u などの小文字はその数値がわからない、ということとなります。
    また、⑦の数は z で表記します。こちらもまた、具体的な数値はわかりません。

    さて、3回の探索チャンスを行った結果の場合分けをここでしておきます。

    (1)3回の探索ともに「不一致」

    (2)2回の探索で「不一致」、残り1回は「一致」

    (3)1回の探索で「不一致」、残り2回は「一致」だが、一致したペアで明らかになった数値が異なる。たとえば、「3で一致」と「7」で一致、など。

    (4)1回の探索で「不一致」、残り2回は「一致」だが、一致したペアで明らかになった数値が等しい。たとえば、「3で一致」と「3」で一致、など。

    起こり得る場合をここまでで挙げ尽くしました。

    次に、各場合ごとに、7枚中からどの1枚を選択すべきかについて記します。

    (1)3回の探索ともに「不一致」

    これは
    tu vw xy z
    のパターンですが、この中に 4枚の同じ数のカードが入っていますから、
    鳩ノ巣原理により
    z のカードを選択すれば大丈夫です。

    (2)2回の探索で「不一致」、残り1回は「一致」

    これは
    AA vw xy z
    のパターンですが
    仮にA以外の数のカードが何枚はいっているかについて考えると
    鳩ノ巣原理によりそれらは最大でも3枚にしかなりません。
    この中に 4枚の同じ数のカードが入っていますので、その数はAとなります。A のカードを選択すれば大丈夫です。

    (3)1回の探索で「不一致」、残り2回は「一致」だが、一致したペアで明らかになった数値が異なる。

    これは
    AA BB xy z
    のパターンですが

    4枚ある、求めるカードの数は A または B でしかありえません。
    AもBも、すでに2枚が明らかですが、残り2枚の求めるカードの在りかは、
    xy z
    となります。
    z のカードを選択すれば大丈夫です。

    (4)1回の探索で「不一致」、残り2回は「一致」だが、一致したペアで明らかになった数値が等しい。

    これは
    AA AA xy z
    のパターンですが…自明です。

    全ての場合にて、どの1枚のカードを選択すれば、それが数が同じカード4枚のうちの1枚となるかについてここまでで示しました。

    探索チャンスを3回得れば、確率1で勝利条件を満たすことができるというわけです。

    「4回あれば大丈夫」がトリビアル、というのがちょっとわからないハンニバルでした。



  • @Hannibal さん
    4回で自明

    (3)1回の探索で「不一致」、残り2回は「一致」だが、一致したペアで明らかになった数値が異なる。
    AA BB xy z

    ⇒このケースzとA又はBの比較が必要と考えたためです。(;'∀')



  • @riffraff さん
    4回で自明の件、御説明をありがとうございました。

    当方、もっと違うやり方でもあるのかなあと思い込んでおりました。

    なお、この問題には原型があります。

    原型に寄せて問題文を変形してみますね。

    【1】
    52枚のカード

    52枚のカードを2組、計104枚

    【2】
    同じ数のカードが4枚ある

    同じ数のカードが4枚〈以上〉ある、つまり、4枚、5枚、6枚、7枚、のうちどれか。(計7枚については変更なしです。)

    上記(1)(2)の変更のもとでも、今回の想定解と同じやり方でよかったというのが、原型での解となります。

    原型の設定では、実はトランプカードではなく、真っ暗闇の洞窟の中の7つのオーブについてでした。手探りで2つの同種のオーブをくっつけると発光する、異種どうしならば発光しない、AとBが異種のときに、Aどうしで発光した色とBどうしで発光した色とでは必ず色が異なる、という設定です。7つあるオーブのうち、少なくとも4個以上が同種のものとなっているのでその種類のオーブをひとつ、洞窟の外へ持ち出せと。

    原型の問題(英文)では、洞窟のなかで発光させて色を確認する必要がないことへの明示的な示唆はありませんでしたので、解こうとした私はどうみてもやはり4回かかるだろうと結論しました。
    答えをみて悔しかったので……

    そこで今回パズルハウスで出題するにあたりましては、ゲームマスターに「〈チャレンジ〉なしでは 4/7 の確率で勝てるゲームだけれども、チャレンジを複数回与えよう」という誘導を付け加えた、というわけです。

    以上が舞台裏です。


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