お菓子を安上がりに



  • ある日のこと。

    サンデイ、マンデイ、チューズデイの姉妹は秘密の盟約を結んだ。

    その盟約は、お菓子の買い方を工夫することでお小遣いを節約するためのものだ。

    3人の姉妹は、三種類のお菓子が大好きだという点で趣味が一致している。

    それらのお菓子は以下のようなものである。

    ・レッドグルー(赤糖糊)
    ・イエローラブメロン(黄恋香密瓜)
    ・ブルースリー(青光三)

    全て輸入品なので普通に買うと高価なのだった。
    しかし超級市場にあるアバンストライプ店では、レッドグルー、イエローラブメロン、ブルースリーを各1個づつ、計3個をセットにして普通の市場価格の1/4の値段で、1日あたり限定ワンセットで売ってくれるのであった。

    すなわち、サンデイ、マンデイ、チューズデイの姉妹が、1日あたり1個を《レッドグルー、イエローラブメロン、ブルースリー》の中から選び、そして互いに選択がダブらなければ、全員が【お菓子を安上がりに】楽しむことができるというわけだ。

    とはいえ。

    サンデイ、マンデイ、チューズデイのお菓子への嗜好は随時変わってしまう。
    そこで1週間ごとにレッドグルーを7個、イエローラブメロンを7個、ブルースリーを7個購入する条件下で、打ち合わせにて、各自好きなお菓子を気分次第で選択し、合計がレッドグルーを7個、イエローラブメロンを7個、ブルースリーを7個になるように調整をかけることにした。

    たとえばある週では、

    サンデイ:レッドグルー4個、イエローラブメロン2個、ブルースリー1個、の計7個
    マンデイ:レッドグルー1個、イエローラブメロン3個、ブルースリー3個の計7個
    チューズデイ:レッドグルー2個、イエローラブメロン2個、ブルースリー3個の計7個

    といった具合に。

    こうして週1回の打ち合わせで決定されたお菓子の配分に従いつつ、日々のお菓子の配分においては必ずレッドグルー1個、イエローラブメロン1個、ブルースリー1個の計3個を分け合うことにより、《普通の市場価格の1/4の値段で買えるセットの購入》となり、お菓子を安上がりに楽しむことが出来るというわけだ。

    問題:こんなことが果たして可能だろうか。



  • @Hannibal さん
    力技で出合い頭に解らしきものを見つけましたが、
    曜日の置換以外の別解が存在するのでしょうか(;'∀')
    考えて見ます。

    力技です

    ❶最初の4日を固定
     ※S:赤4、M:黄1個 5日目以降、T:青1個 5日目以降
    ❷後は試行錯誤
    0_1592937102180_marble.png



  • 見えないように
    おまじない

    取り敢えず別解

    0_1592975530856_marble2.png

    置換以外の別解は無いような・・(;'∀')



  • おおお!
    いい感じですね、 @riffraff さん。

    赤のカード7枚と黄のカード7枚と青のカード7枚との、計21枚をよくシャッフルしたのちに、7枚づつサンデイ、マンデイ、チューズデイに渡します。

    これが今週の彼女たちのお菓子の配分を決定するものだとしましょう。

    日々、赤青黄の三種類が揃うようにできるものなのでしょうか?



  • @Hannibal さん
    考えてみます。
    只今バホメットと遊んでいますので、すこしお時間を!(^^)!



  • @riffraff 自己レス

    えうれか?

    下図の❶~❼まで置換し、S,M,T三人ヤマネッコを適宜当てはめればすべての組み合わせ実現

    0_1593011565626_Marble3.png
    平面ルービックキューブ???



  • そうなんです! @riffraff さん、一種の逆回しでしょうかねえ(^ω^)

    ところで喩え話をば。

    数学者は、とある微分方程式に解が存在するかどうかがまず第一に気になります。
    riffraffさんのこれは、鮮やかな存在証明ですね。

    一方、物理学者は微分方程式の解がどんなものなのかがまず気になります。厳密解を構成したり近似解を数値計算したりと。
    3姉妹それぞれの1週間あたりのお菓子選択がまずあり、赤の合計=青の合計=黄の合計、といった束縛条件のもとで、1日あたり3色を揃えるような解をいつでも具体的に構成できるアルゴリズムを強引にでも作成してしまうのが物理学者風なのかもしれません。



  • 想定解は

    ヤマネの姪っ子3人が1週間でのグロスのお菓子予定数を提出したときに、赤いお菓子、黄色いお菓子、青いお菓子のそれぞれの3人分の総数が一致しているわけですね。

    まずは、3人がそれぞれ、各曜日に何を食べるかランダムに予定表をつくり、それらの予定表を突き合わせます。

    この時点で、日々、赤黄青のお菓子が1個づつ揃えばよいのですが、なかなかに難しいですね。

    1週間が日曜日に始まるものとします。

    日曜日のお菓子予定を次の段取りで進めてみます。

    ①:3人のお菓子の色が一致しなければ②に進みます。

    そうでなければ3人のお菓子の色は一致しています。
    一般性を失うことなく、3人ともにお菓子の色は赤だとしましょう。このとき、「まだお菓子の取り方が未定の日々(月曜から土曜)」を見渡せば3人ともに黄色または青いお菓子のうちどちらか、または双方を必ず食する予定であることが自明です。そこでサンデイが黄ないし青のお菓子を食べる曜日の予定と日曜日に赤のお菓子を食べる予定とを交換します。
    すなわち、日曜日にサンデイは黄または青のお菓子を食べ替わりに赤いお菓子を別な曜日に食べることにします。
    (「一般性を失うことなく」でしたから、3人ともにに黄のお菓子、青のお菓子の場合にも適宜読み替えてください)

    これで②に進みます。

    ②3人のお菓子の色が赤黄青で揃っていれば③に進みます。

    そうでなければ3人のうち2人が同色のお菓子を、残る1人が違う色のお菓子を食べる予定です。

    一般性を失うことなく、サンデイ、マンデイが赤いお菓子を、チューズデイが黄色いお菓子を食べる予定とします。

    このとき、サンデイまたはマンデイのどちらか、あるいは両方について「まだお菓子の取り方が未定の日々(月曜から土曜)」を見渡せば、青いお菓子を食べる予定の曜日があります。
    この、青いお菓子を食べる予定の曜日がある子のうち1名は、その曜日に赤いお菓子を食べるように予定を変更し、替わりに日曜日に青いお菓子を食べるようにします。
    これで、日曜日には、赤黄青の3色のお菓子が揃い踏みすることになりました。③に進みます。

    ③日曜日に赤黄青のお菓子を3人で食べる予定を確定します。

    ※同様にして月曜から金曜まで処理します。

    出典は「アルゴリズムパズル プログラマのための数学パズル入門」という書籍のなかの「3色配置」からです。少しだけ簡単にしました。



  • 想定解は

    ヤマネの姪っ子3人が1週間でのグロスのお菓子予定数を提出したときに、赤いお菓子、黄色いお菓子、青いお菓子のそれぞれの3人分の総数が一致しているわけですね。

    まずは、3人がそれぞれ、各曜日に何を食べるかランダムに予定表をつくり、それらの予定表を突き合わせます。

    この時点で、日々、赤黄青のお菓子が1個づつ揃えばよいのですが、なかなかに難しいですね。

    1週間が日曜日に始まるものとします。

    日曜日のお菓子予定を次の段取りで進めてみます。

    ①:3人のお菓子の色が一致しなければ②に進みます。

    そうでなければ3人のお菓子の色は一致しています。
    一般性を失うことなく、3人ともにお菓子の色は赤だとしましょう。このとき、「まだお菓子の取り方が未定の日々(月曜から土曜)」を見渡せば3人ともに黄色または青いお菓子のうちどちらか、または双方を必ず食する予定であることが自明です。そこでサンデイが黄ないし青のお菓子を食べる曜日の予定と日曜日に赤のお菓子を食べる予定とを交換します。
    すなわち、日曜日にサンデイは黄または青のお菓子を食べ替わりに赤いお菓子を別な曜日に食べることにします。
    (「一般性を失うことなく」でしたから、3人ともにに黄のお菓子、青のお菓子の場合にも適宜読み替えてください)

    これで②に進みます。

    ②3人のお菓子の色が赤黄青で揃っていれば③に進みます。

    そうでなければ3人のうち2人が同色のお菓子を、残る1人が違う色のお菓子を食べる予定です。

    一般性を失うことなく、サンデイ、マンデイが赤いお菓子を、チューズデイが黄色いお菓子を食べる予定とします。

    このとき、サンデイまたはマンデイのどちらか、あるいは両方について「まだお菓子の取り方が未定の日々(月曜から土曜)」を見渡せば、青いお菓子を食べる予定の曜日があります。
    この、青いお菓子を食べる予定の曜日がある子のうち1名は、その曜日に赤いお菓子を食べるように予定を変更し、替わりに日曜日に青いお菓子を食べるようにします。
    これで、日曜日には、赤黄青の3色のお菓子が揃い踏みすることになりました。③に進みます。

    ③日曜日に赤黄青のお菓子を3人で食べる予定を確定します。

    ※同様にして月曜から金曜まで処理します。

    出典は「アルゴリズムパズル プログラマのための数学パズル入門」という書籍のなかの「3色配置」からです。少しだけ簡単にしました。



  • @Hannibal さん
    微分方程式につい、おっしゃている意味がなんとなく分かったような気がします。
    今回の想定解、私にはもっとも考えにくい解法です。
    私の場合トリッキーな特殊解かさもなくば存在証明
    両極端に走りがちです。(;'∀')



  • @riffraff さん

    きっと、頭の使い方に習熟されている方々の習慣なのでしょうね。(^ω^)



  • @Hannibal さん

    想定解

    想定解を眺めていて、なにかどこかにている・・・
    二次元ルービックと言うより・・・
    さっきお風呂の中で”えうれか”
    3色、各色7枚のタイルの入った3X7のタイルボックス
    1枚を抜いて、ガチャガチャにしてボックスにいれ、15ゲームの要領で並べ変え、
    各列3色にして最後の空白に最初に抜いた1枚を入れる。
    題して”20ゲーム”(;'∀')
    これかならずうまくいきますか・・・すこし拘束がきつくなるとわけわかりません。

    自分で思いついて言え、糸口すら見つけられません。(;'∀')



  • @riffraff さん 
    ひとつ前のご投稿での「20」ゲームには必ず解があると思います。

    01 02 03 04 05 06 07
    08 09 10 11 12 13 14
    15 16 17 18 19 20 {}

    とナンバーを仮想的に振りあてておき、01 02 03 04 05 06 07 は赤色に、08 09 10 11 12 13 14 は黄色に、15 16 17 18 19 20 {}
    は青色の駒がおかれるものとします。初期配置と呼ぶことにします。

    いったんこれをバラしてシャッフルしてから、もとの盤に配置します。ただし、{}の位置には駒がないものとします。これを2次配置とします。

    所謂15ゲームと同様に駒をスライドして2次配置から初期配置に戻せるかどうかについては、2次配置が偶置換であればよいこととなります。(この件については、のちほど参考文献をご案内いたします。)

    さて、奇置換の場合には次のような配置に戻せることは自明です。

    01 02 03 04 05 06 07
    08 09 10 11 12 13 14
    15 16 17 18 20 19 {}

    《20 の駒と 19 の駒が置換されていますね。》

    【この状態でも、一行目は赤、二行目は黄、三行目は青】に並んでいますから、目標の
    「各列ともに3色が揃う」ことを満たしています。

    20ゲームの目標よりも更に厳しい目標(行ごとに色をそろえる)ことができてしまっていますが、20ゲームの解の存在証明としては十分かと存じます。

    さきほどご案内すると約束した参考文献について以下に記します。

    15=4×4−1ゲームは正方形の盤ですが、これが偶置換の場合に可解であること、およびに拡張して長方形の盤になっても同様であることを証明しています。

    ●すのものの「15 パズル(およびその拡張)を解く」
    ( http://www5a.biglobe.ne.jp/~sunomono/15pazulu.html )



  • @Hannibal さん
    奇置換、テレコを同じ色にしておけば良い事に気づきましたが、はい。タッチどころか大差のご回答(;'∀')
    ありがとうございました。



  • @riffraff さん
    「テレコ」… 数世紀ぶりに聞いた単語です。

    いやあ、実に懐かしいです。(^ω^)


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