７人の囚人
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ポンチ絵です
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@riffraff 自己レス
Hexaなら二けたで済みます。(;'∀')
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@riffraff さん
１００人版のCartesian Plane 、面白いですね。なるほどです。更なる改良案をひねりだしてみました。
RE:デカルト平面
黒帽の人は必ず欠番を確定できますから、１０×１０の座標を黒帽以外の囚人で構成し、黒帽の人がその平面上に立てばよいですね。桁ごとに伝えなくともよいわけです。
というわけです。
※出題にあたってはもっと練り上げればよかったと反省しています。
たとえば、帽子をかぶった状態で一堂に集められたときに、看守は
「さあ、死刑にあたって執行方法をえらばせてやろう。縛り首がよいか、それとも電気椅子がよいか。縛り首を希望する者は立ちたまえ、電気椅子を希望する者は座りたまえ」と命じる設定を加え、それ以外には囚人どうしで情報のやりとりができるチャンスはないことにするなど。いえ、これで全員が釈放できないと困るわけですが…先日みかけたオリジナルの問題はいっさい情報のやりとりができない設定の問題文だったのに、回答では１囚人あたり１ビットのデータを他の囚人に伝えるタイプのアイデアになっていました。
ところで、７人版で縛り首‖電気椅子の意思表示のみが相互に情報伝達が可能な唯一の手段だとして…… 私にはいまだに腑に落ちない点があり、検討を続けております。申し訳ありません。
黒帽が必ずいる、これの優位性をうまく使える筈なのにそうは見えない（とほほ
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@Hannibal さん
これも面白い設定多分と言うアイディアを思いつきましたが、
これからにわか仕立てのベイジアン講習会講師、夜ご飯後検証します。
黒帽君がキーになる予定
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突然に腑に落ちましたので自信をもって想定解？をば。
想定解かもしれなかった解
帽子の色にナンバーを付与します。
黒⇒０
虹の７色⇒適宜１〜７まで。帽子を被らされて全員が集められたときに各囚人は以下の状態におかれます。
０ナンバーの帽子の囚人にとっては、看守が欠番とした帽子のナンバーが確定します。
０ナンバーの帽子の囚人は他の囚人の誰しもの帽子が黒色でないことを見ることになり、また、黒色の帽子の囚人が必ずいるとの事前の約束事から、自分が０ナンバーであることを知ります。
ゆえに、見ることができないナンバーが即、看守が欠番とした帽子のナンバーであることを知ります。１〜７のナンバーの帽子の囚人は黒色の帽子の囚人がひとりいることを見ることになります。そして、欠けているナンバーが２つあることを知りますが、そのふたつのナンバーのうち、どちらを自分が被っているかがわかりません。すなわち同じことですが、看守が欠番としたナンバーを確定できません。
かかる状態下で各囚人はそれぞれ行動パラメーターの数値を以下のように算出します。
《０ナンバーの帽子の囚人》
行動パラメーターとして、看守が欠番としたナンバーの２倍の数値をおきます。⇔見事なトリックです。《１〜７のナンバーの帽子の囚人》
自分から見えない帽子のナンバーは二種類ありますが、その和を行動パラメーターとします。各囚人は得た行動パラメーターに従って以下の行動をします。
行動パラメーターが７以下の場合。立ちます。
行動パラメーターが８以上の場合。座ります。
全員がかかる行動をし終わったならば、全囚人は、座っている囚人の人数を数えます。
その人数が、
【看守が欠番としたナンバー】に一致します。いやあ素晴らしい！！！ （腑に落ちたからこそわかります）
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@Hannibal さん
まだ解は拝見していないのですが、多分私の解とは違うと思います。少しチート気味の解ですが設問の制約の範囲内だとは思いますチート？
N人の囚人がいるものとします、N色には１からNまでの自然数が１対１対応させることとします
❶黒帽の囚人は自分が黒帽をかぶっている事が認知可能です：N-1色の帽子が」見えるからです
❷黒帽はΣ（見えてる帽子の色の自然数）の偶奇を着席・直立（ex,着席：偶直立：奇）で表示する
❸Σ（1～N）とから偶奇何れかの囚人は黒帽の数および自己の色（数）を認識できる
❹識別できる側の人間はバイナリー表示の黒帽の色（数）を小さな色数を先頭に直立１、着座０（Ex8人：001～000、16人0001～0000、8は000、16は0000）表所に必要のない囚人及び確定できない囚人は着座）
＜8人と9人のイメージ図＜＞
追記３人5人の時黒帽最大値のの時OVFしますので黒帽：奇数:直立→ラストビット１と解釈する事が必要です。＜21：19＞
如何でしょうか
ご飯を食べてから、Hannibalさんの解を拝見します
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@Hannibal さん
予想通り全く違った解でした。!(^^)!
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@riffraff さん。
別解を作り出す才能にはいつもながら驚きます。いやあ、ものすごいですね。
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@Hannibal さん
野良ですので当たり外れの振幅が・・・!(^^)!
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パズル発展史からみて、先行するまっとうな技法があります
先行技法による解
死刑囚に便宜的に０から６までの背番号をつける。また、便宜のためにダミーの死刑囚を仮想的に作り背番号７を与える。
帽子の色にも０から７までの自然数を付与する。
問題では帽子をかぶせたときに１人ぶん余る設定だが、これは便宜上、仮想死刑囚にかぶせるものとする。
死刑囚の背番号順に帽子の色を並べると順列が作れる。たとえば
01234567＜背番号
63075241＜順列全ての順列は奇順列であるか偶順列であるかのどちらかである。
黒の帽子をかぶらせられた死刑囚は自分の帽子の色が黒であることを知ることができる。ゆえに、仮想も含めて全死刑囚の帽子の色を確定的に知ることができる。また、先に定義した順列が奇順列であるか偶順列であるかについて確定的に知ることができる。これは１ビットの情報である。
黒の帽子の死刑囚は、事前の取り決め（奇順列ならば縛り首、偶順列ならば電気椅子）に従って１ビットの情報を６人の死刑囚に伝える。
奇順列であるか偶順列であるかについて知った死刑囚は、自分がかぶっている帽子の色を決定できる。
最後のステップは飲み込みにくいですが、うまくいきますね、確かに。
先行技法の原典はおそらくこちらか
２０１０ 制作 稲葉 直貴
《９９人の囚人》
http://inabapuzzle.com/hirameki/suuri_6.htmlそして本スレッドの想定解のアイデアのオリジナルは以下です。
天才的だと思います。
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@Hannibal さん
感想ですが基本的構造は全て同じなような
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出題のバリエーションとしては、帽子の色数を ｎ＋１、死刑囚の人数 ｎ、特定の色の帽子が必ずかぶらせられるようなことはない、一堂に集められて互いの帽子を見たあとに
《死刑をとりやめて欲しい人は手をあげよ、その人数がｎ/２未満ならば手をあげたものは釈放し、そうでなければ手をあげたこと自体が無視されなかったことにされる》
と言われ、実際に何人かが手を挙げる。
その後に、手をあげなかった死刑囚（ないしは全員につき）各人とも個別に処刑室にて帽子の色を答えさせられあたっていれば釈放。というルール設定のほうがことの本質をカバーしやすいかもと思いました。
ｎ＝９９ならば９９％の確率で全員釈放ですね。残りの１％では何人かが釈放になるかもしれません。
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黒色の帽子に特権を与えるなというクレームがつきました
黒色の帽子をかぶった死刑囚が必ずいるという設定がなくとも、死刑囚７人で帽子が８色ならば、確率１で全員釈放を勝ち取れるそうで。
刑務所側が隠した帽子の色と自分がかぶっている帽子との区別はつかないがその２色については知っているわけでして。色番号を０から７と約束すると、《２色》の色番号の差が１である死刑囚が必ず２人だけいる。
その２人が「私だ」と他の死刑囚に伝えれば、全員が刑務所側が隠した帽子の色を知る。はあ…世界は広い…
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@Hannibal さん
Will the circle be unbroken
mod８でリングにしないと色番号７が隠しの時まずいのではないかと
