近況報告などなどなど



  • 極限操作がからむと私はすぐに直観が破綻します。

    バクテリア 1 個が 1 分後に 確率 1/4 で 2 個に増殖し、確率 1/2 で 1 個のまま、確率 1/4 で 死んで 0 個になるとします。

    バクテリア 1 個が 1 分後に 何個になっているかについて期待値を求めると、

    (1/4)*2 +(1/2)*1 +(1/4)*0 = 1

    です。

    ということは、最初にバクテリアが 1 個あったときに、任意の自然数 n について、 n 分後のバクテリアの個数の期待値は 1 と考えられます。

    個数の期待値は不変…いつまでたっても不変…

    その一方、 n 分後に個数が 0 になっている確率 p(n) について考えると 単調に増加していくことは計算しなくとも自明と思われます。 p(n) は 1 を越えることがないので、上に有界な単調増加数列、従って収束して極限値を持つわけです。

    この極限値は、
    《はたして 1 なのだろうか》
    について、私の直観は破綻しています。

    ①:最初、私は、 n 分後に個数が 0 になっている確率は、 n → ∞ の極限にて 1 なのだろうと思いました。

    ②:しかし先程も検討したように、
    《個数の期待値は不変…いつまでたっても不変…ずっと 1 》なのです。

    ③:かくして①と②とは矛盾しているように思われる。

    0 = 1

    ならば矛盾しているとは言えませんけれども。

    ==

    とは云え。

    次にあげる ①' の可能性をまだ検討していません。
    ①': 正なる数 a があって、 n 分後に個数が 0 になっている確率は、 n → ∞ の極限にて (1 -a) なのだろうか。

    ==

    そんな a は無いような気がしますが、極限操作がからむと私はすぐに直観が破綻しますので妖しい。

    こういう問題は自分ひとりでは解決できそうにもなくて悲しいです。



  • @Hannibal さん
    直感1-aですが、うまく見通しがつけていません。級数に持ち込めればと思いますが、このも(;'∀')

    追記:極限の見通しがつきやすい級数と書くべきでした。
    零については午後に少し書きます。10.18.09:07



  • N分後の場合の数は2^Nこれを自然数qとし
    1分後に1⇒0となる確率をtとし
    N分後に0~qとなる確率をP<N>(0)からP<N>(q)とすると
    N分後にバクテリア数が零である確率は
    P<N>(0)=ΣP<N-1>(s)*t^(s-1) s=0~q-1
    ですがこれがどうにもならない(;'∀')



  • @riffraff さん。

    この星ではなく、どこかの星(知的生命体居住)でのお話しで《あるかもしれない》謎のウイルス検知技術が想像の端っこに。

    その星では、ウイルス検出作業中において、単位作業時間あたり r の確率でウイルスが不活性(≒死んだ)、q の確率で プライマーにみつからず、数が増えず…… pの確率でウイルスの数を2倍にしていき、
    単位作業時間を繰り返し経たのちに、

    あーーー



  • @riffraff さん。

    バクテリア 1 個が 1 分後に 確率 1/4 で 2 個に増殖し、確率 1/2 で 1 個のまま、確率 1/4 で 死んで 0 個になるとします。

    n 分後に個数が 0 になっている確率 p(n) について考えると…

    この p(n) が 1 -a に収束するとしたときに a の値を決定したく思います。

    p(n+1) = (1/4)*p(n)^2 + (1/2)*p(n) +(1/4)

    ですから、 n → ∞ では、

    1 -a = (1/4)(1 -a)^2 + (1/2)(1 -a) +(1/4)

    となります。すなわち

    1 -a = (a^2 -4*a +4)/4

    1 -a = (1/4)*(a -2)^2

    4 -4*a = (a -2)^2

    4 -4a = a^2 -4a +4

    0 = a^2

    a = 0

    p(n) が 1 -a に収束するとしたときに a = 0 が帰結されます。



  • @Hannibal さん
    p(n+1) = (1/4)*p(n)^2 + (1/2)*p(n) +(1/4)
    が気になります
    私の山勘式
    P<N>(0)=ΣP<N-1>(s)*t^(s-1) s=0~q-1
    こちらは自信まるでなしですが・・・
    考えて見ます



  • @riffraff さん。

    少々記法を変更して説明したいと思います。日本語で行うよりも紛れが少なくなると信じまして。

    K:開始時刻(単位・分)
    L:開始時刻から何分たったか(単位・分)
    M:開始時刻にあるバクテリアの個数
    N:開始時刻からL分後のバクテリアの個数

    P(K,L,M,N):開始時刻KにM個あったバクテリアがL分後にN個になる確率

    たとえば、
    P(0,6,1,4) は、開始時刻 0 で 1 個あったバクテリアが 6 分後 に 4 個に なっている確率です。6分間で1個が4個。

    また
    P(1,3,2,0) は、開始時刻 1 で 2 個あったバクテリアが 3 分後 に 0 になっている確率です。2分間で2個が0個。

    §準備1。

    P(1,L,2,0) について考えます。

    開始時刻1に2個あったバクテリアがL分後に0個になる確率についてです。

    《バクテリア 1 個が 1 分後に 確率 1/4 で 2 個に増殖し、確率 1/2 で 1 個のまま、確率 1/4 で 死んで 0 個になるとします。》 でしたから

    P(1,L,2,0) =
    (P(1,L,1,0))^2
    です。

    バクテリアが 2 個あり それを β、γとすると、βの娘が L分後に 0個になる γの娘が L分後に 0個になる事象が 起きる、すなわち、確率は積になるので、L分間で1個が0個になる確率の自乗ですね。

    §準備2。

    P(1,L,1,0) について考えます。

    時刻 1 から L分後に 1 個のバクテリアが0個に。

    §準備3。

    P(1,L,0,0) について考えます。

    時刻 1 から L分後に 0 個のバクテリアが0個になる確率は、 1 です。

    準備が終わりましたので、
    P(0,L+1,1,0) と、P(0,L,1,0) との間の関係式を求めます。

    《バクテリア 1 個が 1 分後に 確率 1/4 で 2 個に増殖し、確率 1/2 で 1 個のまま、確率 1/4 で 死んで 0 個になるとします。》ですから、

    P(0,L+1,1,0) =
    (1/4)*P(1,L,2,0) +(1/2)*P(1,L,1,0) +(1/4)*P(1,L,0,0)

    です。

    準備1から準備3までの結果を代入すると

    P(0,L+1,1,0) =
    (1/4)*(P(1,L,1,0))^2 +(1/2)*P(1,L,1,0) +(1/4)*1

    P(1,L,1,0) = P(0,L,1,0)
    ですから、

    P(0,L+1,1,0) =
    (1/4)*(P(0,L,1,0))^2 +(1/2)*P(0,L,1,0) +(1/4)*1

    上が、
    P(0,L+1,1,0) と、P(0,L,1,0) との間の関係式です。

    ひとつまえの投稿の p(n) とは、P(0,L,1,0) に他なりませんから、

    p(n+1) =
    (1/4)*(p(n))^2 +(1/2)*p(n) +(1/4)
    です。

    p(n) が極限値 c に収束するならば、

    c =
    (1/4)*c^2 +(1/2)*c +(1/4)

    故に
    4c =
    c^2 +2
    c +1

    c^2 -2*c +1 = 0

    (c-1)^2 = 0

    故に c = 1 。

    p(n)は 1 に収束します。

    n分後にバクテリアの個数が 0 となる確率 p(n) は n → ∞ で 1 に収束することとなります。



  • @Hannibal さん 
    取り急ぎ:場合の数のWeightが遷移式にかかってくると思うのですが?
    お絵かきがはかどりません(;'∀') しばしお待ちをpekori



  • @Hannibalさん
    お絵かきでアルゴリズム書いてみました
    私の勘違いです・pekori

    収束すれば1これも了解です。

    t次の問題は収束するか?
    場合の数が指数的に増加していきますので、一意収束になるかどうか解析は苦手ですので(;'∀')



  • @riffraff さん

    >次の問題は収束するか?

    「上に有界な単調非減少数列は収束し極限を持つ」
    という定理があります。

    p(n) は確率ですから 1 を越えることがなく、従って上に有界です。

    p(n+1) =
    (1/4)*(p(n))^2 +(1/2)*p(n) +(1/4)

    でしたから、
    p(n+1) -p(n) =
    (1/4)*(p(n))^2 +(1/2)p(n) +(1/4) -p(n) =
    (1/4)
    (p(n))^2 -(1/2)*p(n) +(1/4) -p(n) =
    ((1/2)*p(n) -(1/2))^2 ≧ 0

    任意の n について
    p(n+1) -p(n) ≧ 0
    ですから
    p(n) は単調非減少数列です。

    以上により p(n) は上に有界な単調非減少数列とわかりましたので p(n) は収束することが証明できました。

    こんな感じですね。



  • @Hannibal さん
    有難うございます。
    漸化式てP(N)-P(N-1)にして気づきました。
    パラメータを変えれば離散型のエピデミックモデルになりますが、取り扱いには気が遠くなりそうですね(;'∀')



  • @riffraff さん。

    パラメーター論で。
    単位時間ごとに、2分裂、分裂しないけど生きてる、死ぬ、の3通りについてのみが起きる、こうした設定で【のみ】考えます。

    整数 A,B,C,D について
    A>0,B>0,C>0,D>0
    A+2*B+C=D
    として

    最初に 1 個あったバクテリアが n 分後に 0 個となっている確率を p(n) とします。

    最初に 1 個あったバクテリアが 1 分後に 2 個となっている確率を A/D とします。
    最初に 1 個あったバクテリアが 1 分後に 1 個となっている確率を B/D とします。
    最初に 1 個あったバクテリアが 1 分後に 0 個となっている確率を C/D とします。

    p(n+1) = ((A/D)p(n)^2+2(B/D)p(n)+(1-A/D-2B/D))

    です。

    p(n) について計算するアルゴリズムは存在していて、それは
    f(x)=(A/D)x^2+2(B/D)x+(1-A/D-2B/D)
    として、
    p(n+1)=f(p(n))=(A/D)(p(n))^2+2(B/D)(p(n))+(1-A/D-2B/D)
    を次々と計算すればよいことになります。

    アルゴリズムがあったとしても、一般項がみつかるとは限りません。

    p(n+1)=f(p(n))=(A/D)(p(n))^2+2(B/D)(p(n))+(1-A/D-2B/D)

    より

    (A/D)(p(n+1)) +(B/D) =
    ((A/D)
    (p(n)) +(B/D))^2 -((A/D +B/D)*(1 -(A/D +B/D))))

    q(n) = (A/D)*(p(n)) +(B/D)
    と置き換えると

    q(n+1) =
    (q(n))^2 -((A/D +B/D)*(1 -(A/D +B/D))))

    となります。mを非負整数とします。

    q(n+1) =
    (q(n))^2 -m
    について一般項が知られているのは、 m=0 または m=2 のときだけです。

    m = (A/D +B/D)*(1 -(A/D +B/D))

    としたときに、A/Dも B/Dも確率であり、しかも、(A/D +B/D)は、1以下なので

    0≦ m < 1

    です。

    q(n+1) =
    (q(n))^2 -m
    について一般項が知られているのは、 m=0 または m=2 のときだけですので、0< m < 1 なるmについて、q(n) は一般項が知られていないと思われます。

    アルゴリズムがあったとしても、一般項がみつかるとは限りません。



  • @Hannibal さん
    解説有難うございます。面白いものですね。このような視点は考え付きませんでした(;'∀')
    私が気が遠くなると申したのは少し違う意味で、SIRモデルと同様もしくはより自由度の高いカーブフィッテングモデルになっていしまいそうだと言う意味でした。



  • @riffraff さん。
    なるほど、そういうことでしたか。

    話は変わりますが「8割おじさん」先生が所謂三密に気がついたきっかけには北海道特有の住宅環境の密閉性について肌で感じていたせいがあったのではなかろうかとの妄想が10分くらいまえに浮上しました。



  • @riffraff さん。

    twitter界隈ではK値理論は音沙汰なしになりましたが上久保狸論はまだまだ騒がしいですね。「もう大丈夫だ理論」は藁よりも掴みどころがありませんのに。



  • @Hannibal さん
    上久保英理論、無差別PCR論と同じ根っこ:母集団分布についてまるで考えていない。

    学者さんでも、確率事象についてまるで分っていない方が思いの他多いようです。
    牧野淳一郎さんほどの方でも、Twitterでは結構あやしい発言をしています。

    真向から統計手法を振りかざす方は往々にしてグランギニョル。一例を挙げると、
    北大の論文:https://twitter.com/EARL_Med_Tw/status/1311586563164270593
    やそれに対する
    岩田健太郎さんのコメント:https://twitter.com/georgebest1969/status/1320891151004561411
    (わざわざ自由度を持ち出す必要はありません。方法論的不適を指摘するならフィッシャーの正確検定で十分です。)
    オッカムの剃刀の原理から離れる事幾千里だと思います。



  • @riffraff さん
    それで思いだしましたがノキシタさんちで L さんから何時アクションがあるのか毎日確認している私です。



  • ●124.確率は難しい? - 物理備忘録 − 津江研究室別館 − 宇宙見物 〜科学を通して世界を
    ( https://uchu-kenbutsu.hatenablog.com/entry/2020/08/05/110749 )
    より引用します。
    ==

    あなたは大勢の人の中にいて、ランダムに選ばれるとしよう。呼ばれたときにサイコロが振られ、6 の目が出たら 1 万円没収されるが、それ以外の目が出たら 1 万円もらえる。お金の得られる期待値は、

    ?

    1万円×(5/6:もらえる確率)−1万円×(1/6:没収される確率)= 6666円

    ?

    なので、ラッキーだ。期待値として 6666 円貰えるのだから、参加しない手はない。ただし、6 が出たら、ゲームはそこですべて終了。そのときまでにあなたがランダムに選ばれていなかったなら、まぁ、ゲームに参加できず、諦めよう。

    まず最初、一人呼ばれた。サイコロは 6 以外の目が出て、その人は 1 万円貰って帰った。うらやましい。

    次に 9 人呼ばれた。サイコロは、やっぱり 6 以外。この 9 人も同時に 1 万円ずつ貰って帰った。

    次いで、90 人呼ばれ、サイコロが 6 以外で、いいなぁ。

    次は 900 人だ。その次は 9000 人呼ばれる。最初の一人以外、9人、90人、900人と10倍ずつ呼ばれる。

    いずれ、6 の目が出て、そこに参加していた人は 1 万円ずつ没収される。そうすると、今まで参加していた人の 90 % の人が 1 万円ずつ没収されることになる。

    たとえば、9000人の時に 6 の目が出たら、それまでの 1+9+90+900=1000人は 1 万円ずつ得したが、最後の 9000人は 1 万円ずつ損し、ゲームの胴元は、9000万円―1000万円= 8000万円儲かる。言い方を変えたら、サイコロの目の出る確率として 5/6 の高確率で 1 万円得られるが、全体の 90 %が 1 万円損するということは、9/10 の確率で損をする。1 万円得られた人の集団に入る確率は、たった 1/10 の確率だということになる。

    あれ、さっき、1 万円貰える 5/6 の高確率はどうした。
    ==

    ぐわし。
    何が面白いのかわからず路頭で枕状溶岩を見つめているフィーリングです。
    まるで理解できませぬ。



  • @Hannibalさん
    マジレスします
    「停止条件付での期待値と単回試行での期待値を比較しても意味がありません」

    これがuchu_kenbutsuさんが言いたかったことでしょうか?



  • @riffraff さん

    冷静に考えましたところ、胴元が得る金額の期待値は∞へと発散しています。
    サンクトペテルブルクの逆理の裏返し版になっていました。

    負け続けている限り都度掛け金を指数的に増していき(いわゆる倍プッシュ)1度でも勝ったらそこでやめるというやつですね。

    現実問題では、原資金が有限ですから、「負け続けている限り都度掛け金を指数的に増していき」ということができずに、ある時点でアボートします。そのときには大負けするわけです。
    こうした大負けを回避するためにサンクトペテルブルクの逆理では原資金が無限という「隠し」設定を密かに持ち込んでいるのですね。


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