8個の彫像



  • @Hannibal さん
    出来てました?ヽ(^o^)丿ワーイ!!
    8個の彫像問題の時に真っ先に試したはずなのに、数え間違えをしていたんですね。
    印刷物の裏紙に殴り書きで試して、上手くいきそうなものをノートに書き写す作業をしていたので、すごい量の紙ごみが散らかっています。(;´д`)トホホ
    発想の仕方って、人によりずいぶん違いますよね。
    私は視覚的にイメージできないと前に進めないタイプです。



  • @マーモセット さん

    私も実は○と―とで絵を描いていました。

    ほぼ同じ書式です。

    軽重の勾配の意味づけまで。

    ただし、私のは横書きで。90度傾いています。

    多量の廃棄メモがゴミ箱行きになりました。

    ところで、ほぼ同じ書式で、米国の計算機科学者であるドナルド・クヌースがお絵描きしていることに【今朝】気がつきました。

    この問題、彫像の個数が増えていくと、いくつか不明点・未解決な問題が隠れているようでしてクヌースも取り組んだようです。

    例えば、彫像の個数がたった16個の段階で、最適に天秤を使うと何回ですむかについて、まだ明らかになっていないらしいです。

    44回では無理なことが証明されています。

    46回で可能なことは私も確認しました。

    では45回での解があるのかないのか…(たぶん無理っぽいですが)不可能なことの証明がとても難しいのだそうです。

    ===

    今朝知ったのですが、
    彫像の個数が12個で、最適に天秤を使うと何回ですむかについて、
    28回では無理なことについて簡単な証明があります。【本パズルの問い2の応用】です。
    30回で可能なことは私も確認しました。
    (9個の彫像がクリアできれば12個30回は目と鼻の先です。)
    さて、29回で可能なのかどうかについては、プログラムを作って計算機で全数探索するという…それでも長時間かかる…29回では無理という否定的な証明がなされたそうです。つまり理屈が成り立たないのですね。

    出題以後、私も12個29回を探しもとめ見つからず、今朝がたに【解なしと計算機が言った】と知ったわけです。
    これぞ
    まさしくトホホ(;´д`)



  • @Hannibal さん

    私も実は○と―とで絵を描いていました。

    やはりそうですよね(^^♪
    12個とか16個とか・・・(◎_◎;)
    もうこれ以上数が増えると私の処理能力オーバーです
    几帳面じゃないと難しいですね。
    私の殴り書きはほかの人には判別不能で、数分経つと私にも判別不能になります💦



  • @Hannibal さん
    それにしても内緒のやり方、美しいですね。
    私の無理くり感漂う方法とは雲泥の差です。



  • @マーモセット さん

    申し訳ありませんでした、私の見落としです。ステータスとしては正答のままではありますが、一部に補いの説明が必要なようです。

    再掲天秤8個-6図にて

    0_1563375213794_天秤8個-6.png
    この図の左端において、
    A<C<Dの鎖とGとの関係において
    G<D
    となる可能性について触れられていないことに気がつきました。

    ですがその分岐の先でも13回オーバーを回避可能のようでした。

    ツッコミ不足をお詫びいたします。



  • @Hannibal さん

    少し図の説明が不十分だったでしょうか

    図9の左図は7回までの比較の結果で記号を振っています。
    右図でのEACの位置関係は8回目9回目で決まり、A>Eのケースを例として図が描かれています。
    0_1563375213794_天秤8個-6.png
    右図のBの位置とGの位置との比較の10回目までは必ず順番通りに行い、11回目の比較はB>Gの時には図と同じB-H、B<Gの時にはB-Cを比較します。
    BはACの間、CGの間、GHの間、Hの下の4か所に入る可能性があり、ACの間の場合は、12回目、13回目はD-G、D-Hの比較、
    BがCより下(重い)の場合は、12回目のDの相手はBGHの内、真ん中になるものと比較し、その結果で13回目の相手を決めます。この時にDとGの位置関係が決まります。



  • @マーモセット さん

    丁寧な解説を有り難うございます。

    先日の私の懸念を以下に書いてみます。

    個人的に感じる懸念とその解決方法

    図9の左図において⑦手めは、
    C<G
    と一般性を失うことなく仮定できます。(同じものどうしの固まりを比較したからですね。)

    さて、
    C<G
    がわかった段階では、
    DとGとの間の重さの軽重については【まだ】不明です。ここに潜在的に危険性を感じた次第です。

    さて、以下の展開が分岐として存在します。

    ⑧手めで
    C<E
    となる分岐がありえます。

    この場合にはDとEGHとの関わりを2手で解決することにより
    さきの
    【DとGとの間の重さの軽重】を保留にしていた件が解決されるわけですね。

    というわけで、再度申し上げますが正答です。

    ※正直なところメインラインで宙ブラリンになりそうな気がして(それは錯覚ですが)私には気がつくことができない手順でした。 手がいたくなるほどの拍手です。



  • 9個反古の山が出来ました。(;'∀')
    @Hannibal さん
    五芒星で行けますが、ご紹介のイメージとは少し違うような(Hannibal さんのイメージが理解できていないかも知れませんが(;'∀'))、もう少しシンプルです。
    六芒星バージョンはユークリッド幾何学解に辿り着きましたので、そのうち私のブログに書きます。(手順が長く、結構手間取りました。)



  • @Hannibal さん

    ご指摘の意図が分かりました。

    この場合にはDとEGHとの関わりを2手で解決することにより
    さきの
    【DとGとの間の重さの軽重】を保留にしていた件が解決されるわけですね。

    そうです、そうです。
    最初の回答で

    Eがどの位置にはいっても、図の右のような形になります。
    B(縦列2段目から出た枝)を2回の比較で縦列の位置を決め、

    としたのは、ACEの位置関係次第で10回目11回目の比較主が変わるためです。
    C<Eの場合は、主軸は上からACEの順になり図のBの位置にはDが入ることになり、10回目にGと比較するのはDになります。
    【追加補足】 
    C<Eの場合は8回目の比較で位置が決まり9回目の比較は不必要で、実際には1回少ない回数で次に進むことができますが、今回は最大回数の確認のためなので、9回目も行ったという前提で回数の順番を表示しています。



  • ものすごく今更感ただようものですが、

    7/14に作図して

    ボツにした8個で決勝戦までやった形のものでもできていたのような…
    ボツにした図なので追加課題 回答の図と図表番号が重複しています。
    0_1563705738244_天秤8個-3.png
    こっちの方が、比較の順番が自然かも



  • @マーモセット さん

    RE:7/14に作図して

    図8の⑧は、俗に言う3位決定戦ですね!!

    面白いです。

    仮にCがFに負ければ、Eが「まてまて、3位になったFと俺Eとの戦いは事実上の4位決定戦であった可能性が出てくる!!……Cよ、いざ尋常に俺Eと勝負勝負」とか言い出すかもしれませんね。

    このときCvsEをやらずに
    CvsGあたりを先にやったほうがいいわけですかね。

    実に面白いです。



  • @Hannibal さん

    RE:RE:7/14に作図して

    出来たと思って作図した後に数えなおしてボツにしてしまった方法なのですが、この時コメントで「トーナメント方式って少ない試合数で順位が決定できて、よくできてますね」と書くつもりだったのです。
    トーナメント方式ってやっぱりよくできたものだったのですね。



  • @マーモセット さんによる新発見にて、とても面白いことがわかりましたね。

    あんまりにも面白いので、もうね、隠し機能を使いません。

    オリンピック。
    予選リーグ戦を抜け出した8チームによる決勝トーナメント。

    とりあえず普通に試合を進めて、最後に、いわゆる【3位決定戦】と【決勝戦】とが行われるわけです。

    厳密に言えばですが…決勝戦の勝者は紛れもなく8チーム中の第一位の実力を持っているわけですが、ニュースなどでよく言われるように【事実上の決勝戦】がいきなり決勝トーナメントの第一試合に登場するかもしれません。つまり決勝戦の敗者に銀メダルを与えるのはどうなのよ?という疑問が。
    また、3位決定戦の勝者は本当に銅メダルなの?

    こうした曖昧性を【順位不確定性】と呼ぶことにいたします。

    さて、あらためまして。
    8チームによるトーナメントにて準決勝が2試合行われそれぞれの敗者どうしで、いわゆる【3位決定戦】が行われて、勝者どうしで、いわゆる【優勝決定戦】が行われたものとします。

    すると観戦していた赤の女王が憤るわけです。

    「これでは本当に力のある2位や3位がわからないっキーーー!!!」

    そこにグリフォンが助け船を出すわけです。

    「あと多くとも8試合を行えば【順位不確定性】が一切無く、実力順に2位から8位まで決められますよ。」と。

    そうゆうことですよね? マーモセットさん。

    (o^ O^)シ彡☆

    素晴らしいっ!!

    オリンピックなど国際大会で採用して頂きたいほどの勢いです、フンガーフンガー。



  • @Hannibal さん
    【順位不確定性】の排除
    いいですね。

    今回の問題を考える過程は

    まずはトーナメントを基本に考えました。
    トーナメントの対戦を1本の主軸を持つ杉型樹形図に変形して
    主軸から出た枝を主軸に入れていくという流れでした。
    当初からトーナメント方式がとても合理的に思えたのですが、杉型樹形図の段階で、ボツにしてしまったのでした。
    あれこれやっているうちに、杉型樹形図の攻略法として

    • 主軸からはみ出たもの(子枝の部分)を主軸に組み込むためには、すでに対戦(比較)済みで負けた相手の下にいくつあるかで対戦数が決まる。
      対戦対象が1つなら1回、2~3なら2回、4~7なら3回で主軸の位置が決まる。
    • 子枝からさらに孫枝が伸びているものがある場合は、他の子枝(孫枝無し)の対戦を先にして主軸が伸びると孫枝付きの子枝だけでなく孫枝の対戦対象までもが増えるため、孫枝を持つ子枝から主軸に組み入れた方がよさそう。
    • また、たとえば、1つの子枝を選んだ時、主軸にある対戦対象が2つだった場合なら、対象がもう1つ増えて3になっても必要対戦数は変わらないので、対戦対象が1つ増えると必要対戦数が変わってしまう別の枝から先に対戦させて、全体の対戦数を節約する。

    と基本姿勢は決まったものの、たびたび数え間違えて、迷路にはまっていたようです。


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