ひらめきのおやつ1



  • ★★★★★★★★★★
    ★・・正解発表・・★
    ★★★★★★★★★★

    まずは出典からです。

    出典

    ●Another Cool Coin-Weighing Problem‖(Tanya Khovanova's Math Blog)

    http://blog.tanyakhovanova.com/2018/08/another-cool-coin-weighing-problem/

    次に想定解です。

    想定解

    出典のコメント欄にも解がのっています。それと同じものに私なりの解説をつけます。

    まず、無精卵を1、2、3、4、5、6、7と名付けます。有精卵を①②③④⑤⑥⑦とします。

    天秤を1回だけしか使うことが許されなかったとしましょう。

    このときには、有精卵を1個、無精卵を1個、たしかに持ってきたことを以下のようにヤマネにたいして証明できます。

    天秤で軽い方を不等式の記号のすぼまっているほうで表すこととします。

    天秤は

    1<①

    をヤマネに提示します。

    これで1は確かに無精卵で①は確かに有精卵であるとヤマネに示すことができます。

    では、天秤の2回目はどうすればよいでしょう。

    何か新しい情報を得るために簡単な方法のひとつが以下ですが、これがヒラメキとしてほしいわけです。

    1<①
    に、左右の皿に【2個づつ乗せたら】

    1②③>①23

    と、天秤の傾きが逆転したことをヤマネにみせたときに、ヤマネにとっては新しいわかりやすい情報が手にはいります。これがヒラメキとしてほしいわけです。
    左の皿が重くなった、ところが右の皿には有精卵が少なくとも1個あることが、1回目の天秤の結果でわかっています。左の皿が重くなったのですから右の有精卵の個数1よりも大きい個数2が左の皿に乗せられた、このことをヤマネは理解できます。

    左の皿の無精卵1の他に乗せられた②③が確実に有精卵であること、そして、同時に、右の皿の23はともに無精卵であることも同時に、ヤマネにはわかります。

    では天秤三回目はどうしましょうか。

    試みに今までのやりかたを踏襲してみましょうか。左右の皿に更に二個づつ乗せて天秤の傾きを再逆転させてみましょう。

    1<①
    1②③>①23
    1②③45<①23④⑤

    再び天秤の傾きが変化しましたが……これでは④⑤が有精卵、45が無精卵とヤマネにとって確定しただけで、他の67⑥⑦の卵については何もデータがなく、失敗です。そもそも天秤に乗せてすらいませんし。

    ここで最後のヒラメキがほしいわけです。

    3回目の天秤でヤマネに提示すべきは以下のようなものでした。

    ①②③4567<123④⑤⑥⑦

    上で天秤2回目まででヤマネにわかっていることは、①②③が有精卵で123が無精卵であることです。
    左の皿に少なくとも3個の有精卵があるはずですから、それよりも重い右の皿には4個の有精卵がなくてはいけません。④⑤⑥⑦がそれです。又、このとき、4567にひとつでも有精卵があったら左の皿が軽くなることはないですので従って4567は全て無精卵、これがヤマネにもわかるわけです。

    以上で解説を終わりました。
    何かご質問があればどうぞ。

    なお、一連の手続きは、以下のような骨組みになっています。

    0<1
    1<2
    1+2<4

    右辺の和が7なのですね。


  • Global Moderator

    @Hannibal さん

    新しいパズルの紹介ありがとうございました。
    私はまだ解けていませんが、だいぶヒントをもらったので、
    そのうち道が見えてくるのではと思います。

    ちなみに、私の思考の道筋は、(ヒントは気にせず)現在のところこのようになっていました:

    が指摘したように、14個全ての卵の情報をエンコードするには3回の計測は不足しているので、コードは不均一に割り当てられているはず。おそらく7有精卵・7無精卵の組合わせは、他にない固有の性質を持つのでは。その性質を3回の天秤操作でデモンストレーションすることができるのでは? です。今回の場合、いつもの偽コインと天秤のパズルと違って、予め操作者に偽コインが分かっています。この点で、天秤は計測のために使うという考えを離れ、デモンストレーションであると考えようとしていました。

    7ー7の組合わせのまず目立つ特徴は、有精卵と無精卵の数が同一である点です。そして、パズルの解が要請することによれば、そこからのズレ、例えば、8ー6になると、「デモンストレーション」は失敗しなければなりません。このイメージは、なにか全体が仮想の天秤に載っていて、7-7のときのみ釣合いを示めすかのようです。このような仮想の天秤とは...

    というところです。解けないソムリエでした!


  • Global Moderator

    @Hannibal さん

    分かったかも知れません!!
    最後に出ている3つの不等号を見て、ようやくですが。端から確定させていく方法でしょうか。
    考え方が正しいとすれば、4回の天秤操作で、15ー15の有精卵・無精卵が証明できそうです。
    あ、だから、2^n-1なんですね。ようやくここまで追いついたようです(泣
    でも実際は27ー27が可能な方法があるんですね...。

    #
    
    ##
    
    ##
    ##
    
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    ####
    

  • Global Moderator

    ひらめきのおやつ1@Hannibal さんが発言 :

    本牟多能比能美古意富佐邪岐意富佐邪岐波加勢流多知母登都流藝須惠布由布由紀能須加良賀志多紀能佐夜佐夜
    「古事記」の中巻の応神天皇記にある歌謡です。

    パズルですね。@Hannibal さんのヒントから私に分かったのは、
    布由布由(恩頼恩頼?冬冬?)
    佐夜佐夜(鞘鞘?さやさや?)
    意富佐邪岐 意富佐邪岐

    繰り返しです。パターンマッチで攻めます。
    直感素人読みです。

    本牟多能(ほむたの)
    比能美古(日の御子)
    意富佐邪岐 意富佐邪岐(いとさじき、いとさじき)
    波加勢流多知母(流せる太刀も)
    ???


  • Global Moderator

    ひらめきのおやつ1@Hannibal さんが発言 :

    今のところ判明しているデータです。天秤n回で有精卵X個、無精卵X個の一覧となります。真のベストエフォートとは限りませんけれども。
    n=1,X=1
    n=2,X=3
    n=3,X=9

    今は n = 4, X = 27 の解が判明していて、最大数が 3^(n-1) である可能性があるわけですね。
    不思議なことに通常の偽コインパズルと似た 3 の累乗が出てくるんですね。
    (もしこれが最大数系列なら) f(n) = 3 * f(n-1) というロジックの存在を示唆!?



  • ソムさん、開眼おめでとうございます。木をみつけましたね。

    ひらめきのおやつ1@ソム さんは、見事に森の描写をしておいででした。

    とくに「7ー7の組合わせのまず目立つ特徴は、有精卵と無精卵の数が同一である点」は実はとても大事な点なのです。

    大事な理由を隠し発言しておきます

    重いほうの有精卵を1個、2個、4個のグループにわけます。それぞれのグループごとの重さをA[1]、A[2]、A[4]としましょう。同様に、軽いほうの無精卵を1個、2個、4個のグループにわけます。それぞれのグループごとの重さをB[1]、B[2]、B[4]としましょう。
    そして、
    C[1]=A[1]-B[1]
    C[2]=A[2]-B[2]
    C[4]=A[4]-B[4]
    とします。

    また、簡単のため有精卵と無精卵との重さの差を 1 とします。(問題の本質を変えないようにしながら重量単位の変更をしたわけです。)

    するとヤマネにとって定義から明らかに
    -1 ≦C[1]≦ 1
    -2 ≦C[2]≦ 2
    -4 ≦C[4]≦ 4

    なのです。
    あとは、この定義のもとで、3個の変数C[1]、C[]2 、C[4]についての3本の不等式をヤマネにみせることで、ヤマネが

    C[1]=1
    C[2]=2
    C[4]=4

    であると納得するように、そのような不等式の3本組をみつけるパズルとなります。

    そこで、
    0<1
    1<2
    1+2<4
    の3本組の不等式に範を求めるわけです。

    すなわち、ヤマネにみせる三回の天秤の計測結果が
    0<C[1]
    C[1]<C[2]
    C[1]+C[2]<C[4]
    であるならば、

    -1 ≦C[1]≦ 1
    -2 ≦C[2]≦ 2
    -4 ≦C[4]≦ 4
    のもとで、

    C[1]=1
    C[2]=2
    C[4]=4
    であることがヤマネにもわかるわけです。

    このように、C[]を作ることができることが、問題をシンプルにしているわけです。

    天秤の回数が多くなっていったときに何個づつの有精卵:無精卵までヤマネに証明できるかについては、厳密な意味で解き明かされているわけではありませんが、今のところ上記の【C[]を作成しそれが満たすべき不等式の発見する】といった方法になっています。

    というわけでした。本質を見抜かれていましたね。



  • おっと @ソム さん
    ビックリするお知らせです。

    天才たちが下記を発見してくださいました。

    天秤の回数をn,卵をm個づつで、ヤマネに対して確かに証明できるときに、
    Yamane(n,m)=1 とします。そうでなければ0とします。

    以下が判明しています。

    Yamane(1,1)=1

    Yamane(2,3)=1

    Yamane(3,9)=1

    Yamane(4,27)=1

    Yamane(5,95)=1   アーッ

    Yamane(6,305)=1

    nが大きくなるにつれて自由度が増えて新機軸の発生が起こっているようです。

    私が解けたのは

    Yamane(3,9)=1
    Yamane(4,21)=1

    くらいなもので、
    Yamane(4,21)はベストではない、Yamane(4,27)=1だと教えてもらい衝撃をうけました。



  • あっ、そうそう、そうです、そうでした。@ソム さん

    >私に分かったのは、
    布由布由(恩頼恩頼?冬冬?)
    佐夜佐夜(鞘鞘?さやさや?)
    意富佐邪岐 意富佐邪岐
    繰り返しです。パターンマッチで攻めます。

    はいっ!!
    おっしゃる通りに目につく繰り返し、これに今回は着目したのが私にとって大きな前進でした。

    (手をつけはじめてから、もう数年になります。解釈を作っては捨て作っては捨て……今回は捨てるには忍びないほどの着想が降りてきました。)

    繰り返しは歌謡だからなのですが、繰り返し以外にも、この歌にはドッサリと密度高くコントラプンクトが歌いこまれていることに気がつきました。これは良い兆候です。歌謡らしさが出てきましたので。

    なお、「波」は〈は〉の万葉仮名です。

    ★この歌謡については、いづれトピックをたてさせて頂きたいと思います。詳しくはそちらで申し上げましょう。



  • 一晩明けました。

    @ソム さん

    >布由布由(恩頼恩頼?冬冬?)

    コントラプンクトで恩頼も冬もともに歌謡に登場しても構いません。

    ソムさんの天才性が〈恩頼〉を抽出したことにたまげています。

    キモなのです。


  • Global Moderator

    @Hannibal さん

    ふふふ。
    でも、繰り返しに着目したのは自分の発想ですが、その続きは@Hannibal さんのヒントから出てきたものです。

    0_1542197562875_yamane4-05.png
    バカと天才は紙一重


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