ディーとダムかあるいはダムとディーか



  • ふう……やっとの思いで皆様からの御投稿を拝読いたしました。

    以下、順不同にて失礼いたします。

    ソムさん。
    ひょっとしたら2と1/2との平均を求めてはいけないのではないかという提起、私もその線で随分と長い間格闘しております。ですが有効な説得力のあるアイデアは出てきていませんです。

    オメガ3 さん。
    仰有る通りです。2つの封筒問題にせよ、それを改造した本問題にせよ、これでスッキリといった答えが私にも見当がつきません。いろいろな説明を読んできましたがまさしく狐か狸かにどこかバカサレテいる気がいたします。

    マーモセットさん

    これは衝撃でした。

    ① 1ダル=2ディル
    ② 8ダル=1ディル

    なるほど、こうした拡張も視野にいれなければいけないのですね。一般化するとかえって本質が見えることもありますので、少し考えてみたいと思います。
    これとは別に。
    伯父さんが用意した資金を3Mとして固定し、それを2Mと1Mとに分割して小切手化し、適宜ダムとディーとに手渡すとき、私見では、小切手を交換してもしなくとも格別な有利不利は発生しないと思います。(たぶん同意見だと存じますが)
    しかしながら伯父さんがはダムに渡す小切手の価値2Mを最初に固定して決め、しかるのちに、コイントスをしてディーに渡す小切手の額面を4Mにするか又は1Mにするかの2択からランダムに決定したとするならば、ダムは交換有利、ディーは交換不利と言い切れる…これがどうやら通説のようです。(私には確信が持てませんが反駁ができないでおります。)
    要は、【ディーとダムかあるいはダムとディーか】の問題では設定が欠けているため答えは不定なのかもしれませんね、おっしゃる通りです。

    riffraff さん。

    精神物理学というものを実は今回初めて知りました。
    御教示を有り難うございます。

    元の2封筒問題では、片方の封筒の開封をする前では、2封筒の間で価値に差は無い、片方の封筒を開封して特定の金額を知ると(例えば200ギルであったり1万円であったりを知ると)その情報によって確率の改訂が必要になるのだ…というのが多数派のご意見のようです。
    私はここに疑問を持ちました。特定の金額を知ることで確率の改訂(期待値の改訂)が本当に発生するのだろうか…手元の封筒を開封したことでわかった1万円の価値について実感したら急にもうひとつの封筒の価値が25%増しになるなんて、私にはよくわかりません。
    【ディーとダムかあるいはダムとディーか】の問題では、ダルなりディルなりの通貨単位の価値を知らないところから出発します。設定はダムにとってもディーにとっても対称ですから二枚の小切手の価値に優劣があるとは…思えないというのが私の感覚です。
    ところが私がダムに憑依していたとして、伯父さんから、(その小切手は20万円の価値なのだ)と耳打ちされたとたんに相方のディーの小切手に25万円の価値があると思えてくるのはすごく不思議です。この現象もまた精神物理学の範疇で解けるものなのでしょうか?
    この伯父さんの耳打ちがなくても、たとえばダムがひとり旅の旅行先で通貨ダルを使ったことがあり、実感として小切手の価値がわかるとしても…なにやらディルの小切手のほうが価値が高いと思うのかもしれません。
    ですがこうした実生活での経験による知識によって、確率の問題での期待値計算の様相が変化することは……非数学的とも思わないでもありません。

    皆様、迷える子羊ハンニバルの世迷いごとにお付き合いして頂きましてまことに有り難うございます。



  • @Hannibal さん

    >設定はダムにとってもディーにとっても対称ですから二枚の小切手の価値に優劣があるとは…思えないというのが私の感覚です。

    私も同じ感覚です。しかし、考えていてふと、
    2と1/2は「率」とみれば対称ですが、「量」としてみれば対称ではないのではないかと思いました。
    「量」として対称にするのならば、
    1ダル=(1+1/2)ディル=3/2ディル
    1ダル=(1-1/2)ディル=1/2ディル
    のように差を一定にする必要があるのではないかと。
    日常に「隣の芝生は青い」的状況があったとして、それが想いなのか論理的にそうなのかを見極めるのは本当に難しいです。

    サンデイとチューズデイの二期作のお話、とても面白かったです。ふわふわぶどうぶどう、美味しそう。
    チューズデイの言葉を借りて、「不思議不思議」「サンスームズカシイ」「わかんないー掛けるところのわかんないー。わかんないーの2乗。」が今の私の心境です。
    ありがとうございました。


  • Global Moderator

    気分転換に二封筒問題について調べていると、以下の奥村晴彦さんの説明を見つけました:
    https://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/stat/exchangeparadox.html
    https://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/stat/exchangeparadox2.html

    • 前半:ダムとディーの交換話はかなり原型に近いのかもしれませんね。
    • 後半:ヤマネの説明を信じていた私には、皆さんの説明に出てくる「合計」「事前分布」「不確定要素」の問題意識がよく分かりませんでしたが、奥村さんのマトリクス(ヤマネが花壇に描いたものとは異なっています)を見て、その意味が分かりました。

  • Global Moderator

    ところで、ふわふわぶどうって何ですか?(笑


  • Global Moderator

    奥村さん紹介の論文でオリジナルとされる Mathematical Recreation は、以下でパブリック・ドメインとして読めるようです。この p.133 にある「ネクタイのパラドクス」がそうです。

    https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=wu.89041209552;view=1up;seq=135


  • Global Moderator

    奥村さん紹介の論文でオリジナルとされる Mathematical Recreation は、以下でパブリック・ドメインとして読めるようです。この p.133 にある「ネクタイのパラドクス」がそうです。

    拙訳です。だいぶ違った形に見えました。


    ネクタイのパラドクス

    二人の人が、それぞれ自分のほうがカッコイイネクタイをしていると主張した。彼らは三人目の人を呼んで決めて貰うことにした。勝ったほうは、負けた方に慰めとして自分のネクタイを渡さなければならない。それぞれのコンテスト参加者は以下のように考えた:「自分のほうが価値のあるネクタイをしていることは分かっている。負けることもあるだろうが、しかし、負けた場合にはより良いネクタイが手に入るわけだ。だから、このゲームは私のほうが得だ」

    ゲームが両者にとって得になるということはありえるのだろうか?

    この疑問は算数的な形にすることが出来る。二人の人が自分たちの財布の中のコインの数を較べあうことに同意した。そして、より多くの数を持っているほうが、相手にその全てを与えなければならない。ネクタイの場合には、金銭の移動はなかった。

    議論:コンテスト参加者たちの視点からは、このゲームの条件は対称である。だから、どちらも1/2の確率で勝つ。しかし、実際には、その確率は客観的に与えられた事実ではなく、状況に関する人の知識に依存している。今回の場合には、その確率を見積もろうとしないのが賢明だ。

    我々は、このゲームがどちらの者にとっても有利ではないことを示すことになるだろう。プレイヤーAが自分のポケットにaペニーを持っており、プレイヤーBがbペニーを持っているとし、それらの数は、どちらもある一定の大きな値x、例えば、現在までに発行されたペニーの総数よりを越えないと考える。もし全ての場合が等しくありえるなら、プレイヤーAのありえる利益(上の表の対角部のゼロの上側で与えられる)は、彼のありえる損失(上の表の対角部のゼロの下側で与えられる)に等しい。というのは、この表はこの対角列に対して対称だからだ。

    translated from "Mathematical Recreations" by Kraitchik, Maurice, 1953



  • @Hannibal さん

    単純なようで、考えれば考えるほど訳が分からなくなっていく不思議な問題ですね。
    @ソム さん 紹介の奥村先生の説明を読みましたが、統計・確率の概念を理解するのは難しいですね。
    私は難しいことは考えずに、小学生の算数レベルの世界で生きていくことにします(^_^;)

    面白い話題をありがとうございました。


  • Global Moderator

    @マーモセット さん

    奥村さんのページに書いてあることは簡単ですよ。後半は、Hannibalさんが前に書かれたことと同じですし、マーモさんのここに書いてらっしゃることのほうが難しいぐらいだと思います。数学的表現は(その記法を知る人に)、短く圧縮して誤解のないように伝える機能を持つだけで、表現されていることの難しさとは直接は関係ないと思っています。

    確かに、難しいことが数式や関連する数学の表現で書かれることは多いです。しかし、それは、ある程度以上に難しいことを自然言語で正確に表現しようとすると、長々となり読む端から忘れていくうえに、自然言語特有の曖昧さもあって、伝わらないからだと思います。つまり、数学によって難しくなっているのでなく、もともと難しいのだと思います。今回の場合には、簡単なことが表現されていると思います。

    riffraffさんに教わった「敵は海賊シリーズ」では、海賊課の刑事たちが、高速言語と呼ばれるもので伝え合うことがあります。高速なので、一般人には「チッ」という舌打ちのようにしか聞こえません。情報の秘匿の目的で使われるようですが、短期間に効率的に伝える効果もありそうです。伝わる人には伝わる特殊言語という意味で、数学と似たところがあるように思いました。



  • @ソム さん
    奥村先生の説明を読んだ時、Hannibalさんが前に書かれたことと同じ意味だったのだとは気づきました。
    正直に言いますと、Hannibalさんが書かれた時には、意味がまったく分かりませんでした。
    なんの話をしているのかさえ頭に入ってこなかったのですが、奥村先生の話を読んで、「不確定要素」の部分を確率論で示したものとようやく分かりました。
    しかし、私にとって理解したとは、他の人にそれを自分の言葉で説明ができ、別の事象にも応用ができるようになった時のことなのですが、それは今の私には程遠い状態です。

    では、この内容を理解したと言えるまで突き詰められるか、と考えてみても、やっぱり無理かなというのが正直なところです。

    数式の難しさというより、確率統計の概念の理解のところ(門をくぐるところ)で二の足を踏んでいる状態です。
    入口を入ってしまうと面白さが見えてくるのかもしれないですね。


  • Global Moderator

    @マーモセット さん

    そうですか、少し誤解していました。

    概念の基本的なことは、定評のあるしっかりと書かれた教科書を読むと、よく分かることが多いみたいです。しかし、問題意識がないときに読むと、頭に入ってこなかったりするので、読むタイミングがあるような気もしています。私は最近いろいろな教科書を読んでいるのですが、以前読もうとしていたときよりは、ずっと面白く読めます。

    自分の分からないことを、分かっていないと認識できることは、重要な能力ではないでしょうか。これが出来るかできないかで、スタート地点に立てるかが決りそうです。

    追加:
    例えばいま、"Introduction to LINEAR ALGEBRA", 5th ed., Gilbert Strang という線形代数の教科書をちょびちょび読んでいます(日本語版は「世界標準MIT教科書 ストラング:線形代数イントロダクション 」)。あれ?線形代数ってこんなに便利で面白かったのか、とマトリックスの世界に釘付けです(笑
    確率論でも面白い教科書があれば読みたいです。


  • Global Moderator

    雑談です。

    ・そういえば、奥村晴彦先生(と呼んだ方がよいのかもしれません)を、私は著書を通してよく知っているのでした。「C言語による最新アルゴリズム事典」やLaTeX関係の入門書には、昔勉強させてもらいました。
    ・学ぶということには、理解する以上のものがあると感じます。何かを繰り返しやっているうちに、それまで持っていた感覚のほかに、新しいチャネルが開いて、お得な気がすることがあるので、学ぶというのは面白いです。以前、実験に使う装置を設計する必要から、毎日のように3DCADを使う時期がありました。独学ですが本を読んだり、練習したり、本命のものを設計したりするうちに、身の回りのものの形が、工業製品から、一部は自然界のものまで、どのようにその形を作るのか、手順として「見える」ようになってきました。気がつくと、視野に入ったものをどうやってモデリングするか無意識に考えるようになって、漠然と見ていたころには分からなかった構造の詳細や工夫が把握できるようになっていたのです(少なくともそのような気になったわけです)。



  • 皆さん有難うございます。

    (^O^)



  • ……実は暇さえあれば相変わらずこの問題の周辺をつついております。

    二封筒問題で、あらかじめホストが用意する金額を 3m 、片方の封筒の金額を m 、もう片方の封筒の金額を 2m といたします。
    2つの封筒はシャッフルされそのうち1つをゲストが選択するという約束にします。

    通常の二封筒問題では m は 正の整数ですけれども、今回は正の実数とします。

    問題が解けるためにはホストが用意する金額 x について累積分布関数が用意されるべきです。

    もう少しだけ条件をキツメにして、累積分布関数だけではなく確率密度関数の存在を要請することにしましょう。

    ホストが用意する金額 x についての確率密度関数を r(x) で書くことにします。
    封入された額面が小さいほうの封筒を《選んでしまったときの》金額 x についての確率密度関数を p(x) で書くことにします。
    封入された額面が大きいほうの封筒を《選んでしまったときの》の金額 x についての確率密度関数を q(x) で書くことにします。

    さて、《あらかじめホストが用意する金額を 3m 、片方の封筒の金額を m 、もう片方の封筒の金額を 2m といたします。その後シャッフルされます。片方の封筒を選び…》という段取りなのでした。

    これを実直に確率密度関数を使って書き下すと以下のようになります。

    ∫[m,m+h]p(x)dx=(1/2)∫[3m,3m+3h]r(x)dx

    ∫[2m,2m+2h]q(x)dx=(1/2)∫[3m,3m+3h]r(x)dx

    上の各式で
    (1/2)
    とあるのは、シャッフルしてからひとつを選ぶところからきています。

    積分範囲が工夫されています。r について 3h の幅を持たせれば p については h 、q については 2h の幅となります。

    (ホストが用意する金額について 300 円から 330円 までに対応させると、額面の小さいほうは 100 円から 110円、額面の大きいほうは、200 円から 220円、となります。 )

    2つの式を再掲します。

    ∫[m,m+h]p(x)dx=(1/2)∫[3m,3m+3h]r(x)dx

    ∫[2m,2m+2h]q(x)dx=(1/2)∫[3m,3m+3h]r(x)dx

    この二式から当たり前ですが

    ∫[m,m+h]p(x)dx
    =∫[2m,2m+2h]q(x)dx

    を得ます。

    ここからがキモです。

    この式の右辺の積分の変数をxからtに変換します。

    x=2t, dx=2dt,

    と変換すると

    ∫[2m,2m+2h]q(x)dx
    =∫[m,m+h]q(2t)2dt
    =2∫[m,m+h]q(2t)dt
    =2∫[m,m+h]q(2x)dx

    を得ます。

    よって、
    ∫[m,m+h]p(x)dx
    =2∫[m,m+h]q(2x)dx
    を得ました。

    ここまでの論では、確率密度関数の存在のみを要請しただけですが、
    ∫[m,m+h]p(x)dx
    =2∫[m,m+h]q(2x)dx
    が m や h の値によらずに成立するという結果が出てきたわけです。

    このようなことが起きるには、シンプルに
    p(x)=2*q(2x)
    であれば良いのですが……

    もっとも単純にこのようなことがおきる q p としては、

    p(x)=q(x)=const/x

    が考えられます。

    勿論もっとへんちくりんな関数だって構わないのですが…

    ホストが用意する各金額の全てで二封筒問題の構造が変わらないことを要請するならば、このような反比例関数が相応しいのでした。

    さて

    p(x)=q(x)=const/x

    をぐっと睨めば

    r(x)=定数/x

    が出てきます。

    すると封筒を交換したときの期待値は交換する前と変わらないことが期待されます。

    たとえば封筒を開封したときに
    200円だったとします。

    このときにホストが用意したお金は300円もしくは600円なのでした。

    r(x)=定数/x

    でしたから、
    r(300)=定数/300=2定数/600=2r(600)
    です。

    ホストが300円を用意した確率が2/3、600円を用意した確率が1/3ですので、
    封筒を交換したときの額面の期待値は、
    1/3400 + 2/3100 = 200
    となります。

    このように封筒を交換したときの期待値が交換する前と変わらないことになる理由は、

    ∫[m,m+h]p(x)dx=(1/2)∫[3m,3m+3h]r(x)dx

    ∫[2m,2m+2h]q(x)dx=(1/2)∫[3m,3m+3h]r(x)dx

    となるようなもっとも単純な関数をみつけてきたからなのでした。

    ===

    とまあ、かなり怪しい論法になっています。

    どこがまずいかというと、積分したときに、x=0 の周りでまずくて無限大がでてきてしまうのです。

    全確率が1とならないようなら破綻です(困惑

    …………以上のように、相変わらずこの問題の周辺をつついておりまして、不思議だ不思議だうまくいかんと喚いております。


  • Global Moderator

    「ソムさん」もまだ気を失ったままです。このまえは、こんな図を書きました。まだまとまらず目が醒めません。ソムさんは射影空間に迷い込んでいるようです。
    0_1530621194079_homogenous-coordinate.png



  • @ソム さん

    同時分布、周辺分布、条件付き分布で捉えようということでしょうか?


  • Global Moderator

    @Hannibal さん

    比が意味を持つ世界を探究しています。同次座標系です。縦軸が為替レートを表すというふうに見ます。横軸が金額の数字です。



  • @ソム さん

    homogeneous coordinates を包丁として この問題を捌く

    いやあ 全く新しいです 全く!



  • アージェルカージェル教育用魔法玩具店とカージェルマージェル魔法教育用玩具店との混同はよくみられます。

    アージェルカージェル教育用魔法玩具店では自然数にゼロを含みませんが、カージェルマージェル魔法教育用玩具店では自然数にゼロを含みます。

    皆さん間違えないでくださいね。

    アージェルカージェル教育用魔法玩具店では、《自然数選択オラクルー》という便利な玩具が売っています。

    《自然数選択オラクルー》、高いものだと10進10桁の表示部、安いものでは10進4桁の表示部がありますが実用上ではほぼ使い勝手に変わりはありません。

    『自然数がひとつ欲しいなあ』と思ったら【ちょうだい】ボタンを押します。すると表示部に数字が現れます。それが10進11桁の数ならば、表示部には11桁のうち左からかぞえていって表示部に表示できるだけ表示し、【続く】ボタンが点滅します。高いものだと10桁表示され【続く】ボタンが点滅され、これを一回押せば、残りの一桁が表示されます。安いものだと、4桁表示され計2回【続く】ボタンの点滅と押下が必要とされるわけです。

    《自然数選択オラクルー》が 【ちょうだい】ボタンを押したときに自然数nを表示する確率は、
    1/(2^n)
    です。
    自然数1を表示する確率は、1/2です。
    自然数2を表示する確率は、1/4です。
    自然数3を表示する確率は、1/8です。
    簡単ですね?

    《自然数選択オラクルー》が出力する全ての自然数の…個々の確率の…総和は1です。



  • ダムとディーの伯父さんは、この玩具を使ってひとつの自然数を得ます。もしもそれが3の倍数でなければやりなおします。3の倍数3Mを得たところで、これをMと2Mとに分割し、額面Mギルの小切手をつくり封筒にいれ、額面2Mギルの小切手をつくり封筒にいれました。
    ダムとディーとはMの具体的な数値をのぞいて、このことを知っています。

    二つある封筒をよくシャッフルしたのちに、ダムがひとつを選択しました。

    伯父さんはダムに聞きます。
    「ダムよ、君が選んだ封筒の中の小切手の額面が、もうひとつの封筒の中の小切手の額面よりも大である確率は1/2なのだね?」
    ダムは即答します。
    「もちろん!」

    伯父さんはダムに促します。
    「開封して小切手の額面を読み上げなさい」
    ダムは早速開封して額面を読み上げます。
    「20ギルだっ」
    伯父さんは次のように言いました。
    「ダムよ、【何もかも知っている私にとってではなく】【Mについて何も知らないダムにとって】ダムが選んだ封筒の小切手の額面はもうひととつの封筒の小切手の額面の期待値よりも、圧倒的に大きいのだ。君が選んだ封筒がそうなるように手配したのだよ。」
    ダムは目を白黒させた。
    「えっ?こちらが大の確率は1/2のはず。」

    ディーは助け船を出した。

    「ダムの小切手が20ギル。」

    「だから伯父さんが玩具で選んだ数字は60か30かのどちらかだ。」
    「あの玩具が30を表示する確率は、1/2^30」
    「あの玩具が60を表示する確率は、1/2^60」
    「だから、ダムが選ばなかったほうの封筒の小切手の額面が10ギルである確率と40ギルである確率との比は、2^60:2^30か……2^30:1だな。
    ダムが選ばなかったほうの封筒の小切手の額面が10ギルである確率はダムが選ばなかったほうの封筒の小切手の額面が40ギルである確率の2^30 倍なのか。」
    「ダムの20ギルがもうひとつのXギルよりも大である確率は、小である確率の2^30 倍だ。」

    伯父さん「私がダムをあやつって、二つある封筒のうち額面が大な小切手を封入してあるものを選ばせた……こんなことはありうるのかい?」
    ダム「伯父さんやディーが計算を間違っているのでしょう?……違うの?……」

    ディー「」



  • @Hannibal さん
    《自然数選択オラクルー》を生み出すカラクリを考えると楽しくなります。
    無限ヤジロベーとかです。(^^♪


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