ディーとダムかあるいはダムとディーか



  • (自慢ばなし)
    自然数オラクルーの改良版、正なる有理数オラクルーも、その存在を確認済みですが、きちんとした玩具として実装するにあたり若干のツメが必要です。

    特長
    ・任意の正なる有理数q/pの出現確率を、q,pを与えれば具体的に記述ないし計算できる。
    ・上記確率は、全ての正なる有理数にわたって総和をとると1になる。(重要)
    ・相異なる2つの正なる有理数の出現確率は相異なる。「同じ出現確率をもつふたつの有理数はない」

    ※なんのための正なる有理数オラクルー?

    《封筒をあけたら1が出てきた、これなら必ず金額の小さいほうの封筒だ》と判定されたくない。

    実装にあたり、とある無限級数の総和の値が必要なのですが計算にてこづっております。



  • @マーモセット さん

    お描き下さった図解の意味について私なりに解ったかも知れませんのでコメントをさせて頂きます。

    やや天下りですが。

    図解は、離散的です。

    片方の数の駒の値がもう片方の数の駒の値の二倍になっています。そしてなおかつ離散的です。こうした場合には駒の個数で出やすさ、実現の濃さを決めると良いと思います。

    次に、連続量の場合のトイモデルを示します。こちらは離散的なものとは様相が異なります。

    ホスト(伯父さん)が、次のような確率密度でもって、3Mを決めるとします。

    0≦x≦3 で 1/3

    全確率は1です。
    方眼紙に、高さ1/3で幅3の長方形を描くようなものです。この面積1の長方形のどこかに1点をランダムに選び、そのx座標が3Mとなるわけです。

    次にゲスト(たとえばディー)が小さいほうの数Mを選ぶ確率密度のグラフを描きます。

    0≦x≦1 で 1/2

    全確率は1/2です。

    次にゲスト(たとえばディー)が大きいほうの数2Mを選ぶ確率密度のグラフを描きます。

    0≦x≦2 で 1/4

    全確率は1/2です。

    無論、ゲストが大きいほうの数を選ぶ確率は1/2ですし、小さいほうの数を選ぶ確率も同じく1/2ですし、両者を加えれば全確率が1となるような仕掛けです。

    さて、区間0≦x≦1と区間1≦x≦2とでは、大きいほうの数を得る確率や小さいほうの数を得る確率が、異なることが明らかです。

    ゲストが引いた数が2/3だったとしましょう。区間0≦x≦1です。

    このとき、この2/3が、小さいほうである確率は、大きいほうの確率の2倍です。

    また、ゲストが引いた数が3/2だったとしましょう。区間1≦x≦2です。

    このときには、これは必ず大きいほうの数です。
    小さいほうの数は3/4でしょう。

    興味深いことに、ゲストが引いた数が区間0≦x≦1に含まれるならば、それが小さいほうの数Mである確率は、大きいほうの数2Mである確率の2倍です。

    偏っていますが、致し方がありません。

    こうしたおかしな偏りは、連続量を考えるときにどうしても出てきます。

    しかしながら、離散量ならば、駒の数を対応させるので…… あまり不思議なことはおきないと思います。

    以上です。



  • では、ウニ頭のまま、続きを考えます。
    図2のようなケースでは、2つの袋の期待値がそれぞれで違うため違いをなくすことにします。
    青と赤の袋の中身を1つの袋に入れてしまえば、大袋の中の期待値は1つになります。

    青の袋の期待値をA
    赤の袋の期待値を2A
    とすると、
    大袋の期待値は(3/2)A
    です。
    そこからボールを取り出して20ギルが出てきました。
    これは、大袋から出てきたものなので、
    青袋から出てきたと考える場合は補正をかけて、
    A:(3/2)A=X:20
    X=40/3(ギル)とします。

    赤袋から出てきたと考える場合も補正をかけて、
    2A:(3/2)A=Y:20
    Y=80/3(ギル)

    Xを2倍にすると80/3(ギル)
    Yを1/2倍にすると40/3(ギル)

    20ギルからの差はどちらも20/3ギルなのでチャレンジをしても損得一致になります。

    かなり強引な考え方ですが、取りあえず、自分を無理やり納得させるためのものです。(^^ゞ

    追記:もたもた書いている間に @Hannibal さん からのコメントがありました。
    ありがとうございます。
    ウニ頭をもう少し回復させて考えます。



  • さらに続き
    しかし、実際には青の袋か赤の袋のどちらかから20ギルのボールが出てくるので、チャレンジをすると10ギルか40ギルのどちらかが得られます。
    期待値が20ギルになるとすると、
    青の袋から取り出す確率をa
    赤の袋から取り出す確率をb
    とした時
    40a+10b=20
    a+b=1
    40a+10(1-a)=20
    a=1/3
    b=2/3
    a:b=1:2 になります。
    これが奥村先生の

    スワミが投資額を2倍にする確率は半分である。

    のことです。

    同じ個数入っている袋から1個ボールを取り出すと考えれば、確率は同じになるはずですが、異なる期待値を持つ2つを比べて、そこから損か得かを判断するための期待値を得ようとする場合、そこに書かれている数値を期待値を基準にして考える必要があり、そのため感覚的なズレが起こるという結論になりました。

    これで自分を納得させられたのか自分でも分からずウニ頭がさらにドロドロです。



  • これでおしまいにします。
    大袋理論を視覚的にイメージしやすいように、青の袋と赤の袋を混ぜ合わせそれらを期待値を1:2にするため、金額が書かれたボールそのものをすべて1:2に分割しました。
    0_1532069148245_確率5 - コピー.png

    大袋の中から取り出されたボールはどちらの袋のものか不明なので、金額的に1/3が青の袋のポテンシャルを持ち、2/3が赤の袋のポテンシャルがあります。

    1つのボールを取り出し、チャレンジをすると青のポテンシャル部分1/3分が2倍の2/3になり、赤のポテンシャル部分2/3が半分の1/3になり、合わせると元の1つのボールに戻ります。
    取り出したボールに20ギルと書かれていても、20ギルのボールは1/3が青の可能性であり2/3が赤の可能性を秘めているため、チャレンジ後も20ギルに戻ります。

    ウニ頭ではこれ以上は考えつかないので、二封筒問題は私はこの辺で妥協しようと思います。

    補足
    袋くじの考えは、二封筒問題で自分が開けた封筒がスワミの投資額3MのうちのMだった時のことを青の袋からボールを取り出したと置きかえ、2Mだった時のことを赤の袋からボールを取り出したと置きかえて考えたものです。
    常に封筒の中身はM:2Mに分けられていることから封筒を開けて確認した金額Xそのものも、1:2の比率でM側か2M側の可能性を持つことを表しました。



  • @マーモセット さん

    最初の袋くじの図2のほうに改良を加えまして、青い袋を1袋、赤い袋を2袋の設定にして「チャレンジ」を宣言することと等価ですね。



  • @ソム さん @riffraff さん

    多世界というよりも可能世界になりますね…

    可能世界での二封筒問題を取り扱う哲学者は確かに現存します。



  • ここまでの流れでホストが用意する金額の現れやすさの分布によって、、最初のひとりのゲストが手元に得た額面と、もうひとりのゲストの額面とを比較した際の大小関係については、、、最初のひとりのゲストが手元に得た額面の具体的な実現値によっては、【大きな変動がありうる】【自分の方が小さい確率が高い|低いがわかる】と見てきました。

    一方、〔スワミの投資額3M〕を考えて【奥村先生のスワミが投資額を2倍にする確率は半分である。】という、【ひとつの】【ホストが用意する金額の現れやすさの分布】の例についても意見が出されました。

    さて、〔ディーとダムかあるいはダムとディーか〕のスレッドの冒頭に掲げられた問題、言わば二通りの通貨単位による2枚の小切手の問題ですが、
    【ホストが用意する金額の現れやすさの分布】や、【僕のほうがアイツのよりも金額が大きい確率が高い/低い】なる偏り…が…どうなっているのか分かりにくいのです。

    ダムもディーも互いに手にしている小切手の額面を知っていてフルオープンですし与えられた情報については対等、対称的です。

    ホストが用意した予算の分布によって〈ダムのほうがディーよりも高価値の小切手である確率が高い〉という結論が出しにくいのですよね。

    この二つの小切手問題と二つの封筒問題とで、何がどう違っているのか、迷い道ふらふらなのです。


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  • イエローカード!?


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