ディーとダムかあるいはダムとディーか



  • @ソム さん

    おかえりなさい。嬉しい\(^o^)/です。
    私もご無沙汰していますが、私の場合は「脳が焼き切れて」しまいました(>_<)。
    今後もソムさんはじめ皆さんの書き込み、楽しみにしています。



  • ソムさんだー

    これからもソムさんが長期不在の場合にはソムさんが登場する問題を提示いたしまして召還魔法に代えさせて頂きます(努力目標


  • Global Moderator

    双子たちの嬉しそうな顔を思い出しながら、ソムさんは帰り道を歩いていた。するといつもの木の下のテーブルに、いつものように兎のヘア教授がお茶を飲んでいるのが見えた。

    ソム「こんにちは、今日はお一人なんですね」

    ヘア教授は無言のまま上目遣いでこちらを見ると、頭に乗せている鳥の巣のような帽子にちょっと触って、あごでテーブルのほうを示した。ソムさんは、座ってもよいという意味と勝手に判断して、席に着く。

    ソム「お茶をいただいてよいでしょうか?」

    ヘア教授は「どうぞどうぞ」と言って、「えらく楽しそうですな」と、あまり楽しくなさそうな表情で言う。

    ソム「いま、トウィードルダムとトウィードルディーの双子の家に遊びにいって、面白いことを聞いてきたのです」。ヘア教授に、さきほどの奇妙なお小遣いの話をする。ヘア教授は頷いて聞いている。

    ヘア教授「なるほど、単位の問題ですな。ダルを通貨単位としたときと、ディルを通貨単位としたときで、小切手を交換するときの損得が変化するというわけですな」

    ソム「そういうことになるのでしょうか。確かに、ダル小切手を持っているダムにとっては、ダル通貨基準だと、自分が1として、相手のディーが期待値1.25、ディル通貨基準だと、相手が1として、自分は1.25になりますね。どちらの通貨で考えるかによって、大小関係が変わりますね」

    ヘア教授「それでどう思われますかな?」

    ソム「まあ、通貨なんてものはそういうもんじゃないでしょうか」

    ヘア教授は目をギロリと光らせ、「いやいや、そんなわけには行きませんな」と続ける。「全ての事象は、我々がどう位置づけようが、物理現象なわけです。単位は量を記述するときの物差しにすぎない。ある物の長さを我々がサンチマン単位で測ろうが、別の惑星で、例えば、仮にセンチメートルというヘンテコな単位があって値が変わったとしても、それらによって記述される物理法則が変わってはおかしい。測る単位によって、物の大小が逆転することがあってはならんですな」。教授はいつになく饒舌だ。

    ソム「そう言われればそういう気もしますが」

    ヘア教授「つまり、『1ダル=2ディル』と『2ダル=1ディル』が等確率で成立するということはありえない、または、どちらの通貨も価値が0ということになりますな。後者の場合には大小関係は逆転しませんからな」

    かわいそうに、双子達は伯父さんに紙くずを掴まされてしまったのだろうか。ソムさんは反論したくなった。

    ソム「しかし、通貨が物理現象であるというのは飛躍があるのではないでしょうか?」

    ヘア教授「通貨価値が目に見えないので自信が持てないのですな。例えば、伯父さんが双子たちに、小切手の代わりに棒チョコを与えたと考えて見なさい。双子に相手のチョコが見られないようにして、それぞれ10マンチキンと、10センチの長さであると伝えるわけですな。単位換算は『1マンチキン=2センチ』『2マンチキン=1センチ』が等確率であると伝えたと」

    ソム「チョコの交換に関して同じ理屈が成立しそうですね」

    ヘア教授「棒チョコに関する情報が不十分で、確率的要素があるわけです。それでも不確定性を含めた事象のモデルが、単位系の取り方で変化してはおかしいですな」


  • Global Moderator

    ヘア教授のお茶会を辞するころには、そろそろあたりは薄暗くなり始めていた。ソムさんがなんとなく腑に落ちない感じを抱きながら、帰り道を歩いていると、ちょっとした屋敷の前庭に、覚えのあるシルエットが見えた。パイプをくゆらせている。

    ソム「これは、ヤマネさんじゃありませんか。こんばんは」

    普段は、ヘア教授のお茶会での、ぐったりとしたような寝ぼけた姿しか見たことがなかったため、意外な印象を受けた。「今日は珍しくお茶会でお顔を拝見しませんでしたね」

    ヤマネ「ははは、いや、特別な理由があって、家を離れられないのです」

    そういえば、明かりのついた屋敷の窓から、ぱたぱたと走り回る音やキャーといった声がひっきりなしに聞こえて来る。

    ヤマネ「うちには姪が7人居るのですが、1日おきに生まれたのです。誕生日が連続してこの一週間は、メデタイというか、騒がしいというか、毎日がパーティです」

    ソム「いや、たいへんですね」

    ヤマネ「ははは、いまようやく抜け出してきて、一服しているわけです」

    ヤマネがいつもと違った雰囲気を漂わせていたので、ソムさんもいつになく話し込んでしまう。「さっき、ヘア教授と会ってきたのですが」と、トウィードルダムとトウィードルディーのお小遣いの話をした。

    ヤマネ「教授らしい答えですね。あの人は尤もらしい説を作るのが上手いですから」

    ソム「ヤマネさんはどう思いますか?」

    ヤマネ「ボクはヘア教授やハッターさんたちのようには賢くないので、いつも、順番に、ひとつひとつ考えるようにしています」

    ソム「『1ダル=2ディル』と『2ダル=1ディル』が等確率で成立するということはありえないのでしょうか?」

    ヤマネ「せっかくなので、さきほど出てきた、棒チョコの例で考えて見ましょう」そういって、窓の明かりのそばにいくと、棒で花壇の端の湿った地面におおよそ以下のような図を描いていった。

    0_1528553031078_ディーとダム.png

    ヤマネ「トウィードルの伯父さんが用意した棒チョコは2本あって、片方が片方の2倍の長さだとしてよいでしょう。それらを、ダムとディーのどちらに与えるかは、最初から決まっていたのかもしれないし、サイコロで公平に決めたのかもしれません。ここでは、サイコロで決めたとして、ありえた2通りを描いています。そして、10マンチキンと10センチの換算係数も、2通りありえて、それぞれの場合に応じてどちらの棒チョコが10マンチキンの長さになるのかが決ります。伯父さんの言うように、これも公平に決めるとすると、このように、2かける2の4通りの場合があります。これらが等確率で生じます」

    ソム「思ったより複雑ですね。この矢印はなんですか?」

    ヤマネ「これは、既に判明していることとして、ダムが10マンチキンの棒チョコを貰ったことを示しています。つまり4通りのうちの、ありえるのは上段の2通りに絞られました。この2つが等確率になるということでですね」

    ヤマネ「さて、ダムにとって、棒チョコをディーと交換するほうがよいのかどうか。ダムが貰ったのは、長さ2の棒チョコと、長さ1の棒チョコが等確率でありえます。すると、現在の棒チョコの長さの期待値は(2+1)/2=1.5です。そのとき、ディーの持つ棒チョコも長さ2と1が等確率ですので、期待値は長さ1.5です。つまり、ダムにとって、ディーと棒チョコを交換してもしなくても、長さの期待値は変わりません。それはディーにとっても同じです」

    ソム「なぜヘア教授のところで、等確率がありえないという話になったのでしょうか?」

    ヤマネ「期待値が1.25とした前提がおかしかったのかもしれませんね」



  • 大学の講義に幼稚園児が紛れ込んで申し訳ありませんが、
    皆さんの考えをつまみ食いしてみました。

    ダルとディルの場合
    (1, 2)(1, 1/2)が同じ確率で存在する
    チョコレートの場合
    (1, 2)(2, 1)が同じ確率で存在する

    と考えると、チョコレートの場合は、総量が変化していませんが、
    ダルとディルの場合は、総量が変化しています。

    二人に与える小遣いの合計を300ギル or 600ギルと決定すると、期待値に矛盾がなくなりました。

    不足していた設定は、総量を決めることかも?と思います。総量が変化しなければ、ヘア教授の発言が成立します。

    >ソム「しかし、通貨が物理現象であるというのは飛躍があるのではないでしょうか?」

    ソムさんがおっしゃるように、通貨は量ではなく価値だから、二つの通貨単位で換算する場合には、総量(総価値)を設定することができなくて、混乱するのではないかと思うのですが、、、よくわかりません。


  • Global Moderator

    @オメガ3 さん

    通貨だと総量がはっきりしないので混乱するというのはそうですね。しかし、通貨でも価値には総量があるはずですね(ダムやディーが交換を悩む間に為替が変化するような急激なことがなければです)。

    現時点での私の考えは、このパラドックスのように見えるものが発生する原因は、ヤマネが言うように期待値を1.25倍と計算するのが誤っているからというものです。ダムにとって、ディーの持つ小切手の価値は、自分の持つものの2倍と1/2倍が等確率です。そこまでは良いです。しかし、それら2と1/2の単位量が違うので、(2+1/2)/2とする計算はおかしい(つまり、異なる単位の値を足し算している 例:1m+1フィート)ということです。その意味では、ヘア教授の言うように単位にまつわる問題でもある思います。つまり、マーモセットさんのおっしゃった『「2倍」の時と「半分」の時に対応する元のお金の価値がそれぞれ違うので、それを平均してはいけない』、これが全てと思っています。



  • マッドハッターはいつものように鼻唄を歌いながらよろめきあるいていた。

    鼻唄は即興の歌詞だが、新作ではない、旧作が習作だったのだし、今回こそ秀作であるに違いないと自負した。

    「またもや遅刻、二日遅れのキミの誕生日、おめでとう。今日はボクの誕生日じゃないからおめでとう。お茶の香りのたちこめるパーティーを開こう。二日前なら開けなかったパーティーを。今日はキミの誕生日じゃない日、おめでとう。」

    ふと立ち止まる。ひとりごちる。

    「おっと。ヤマネの家の近くまで来てしまったなあ。最近この家では誕生日続きだからな、あまりめでたくない、近寄らないでおくとしようか。………ん……?」

    垣根越しによくみればヤマネが屋敷の庭でパイプをふかしている。お茶の葉を燻らせて香りを楽しんでいるようだ。

    声をかけようとも思ったがヤマネの姪たちがすぐそばにいるに違いないと思い付き自重した。あいつらはめんどくさい。

    そっと抜き足差し足で庭に入り手近な木に登った。突然飛び降りてヤマネをビックリさせてやればさぞかし楽しいだろう……ところがいざ登ってみたところが、意外と地表からは高い。落ちたら怪我をするかもしれない。

    どうしたものかと迷っているうちに何者かの足音が聞こえてきた。

    足音の人物は、あのアリスと同じ種族のソム氏だ。

    するとソム氏とヤマネとが親しげに何か談笑を始めた。

    ===
    ===

    難しい話のように聞こえるが、なあに、話は簡単だ。

    ダムとディーの伯父さんが、お小遣いの合計金額の予算をはたしていくらにしたのか、これは最初は誰にもわからない。お小遣い予算は正の数だろう。それしか情報がないのだ。

    こんなときには、外れの無い宝くじを考えれば良い。お茶の取引でもなんでもそうだが、よいものは貴重でわずかしか出回らない。宝くじの一等は少ししかない。でも二等や三等はもう少し当たりやすくて枚数も多い。並みのお茶っ葉や、10等の宝くじは多量にある。
    世界はそういう風にできている。
    だから、ダムとディーの双子の伯父さんが用意した予算の額は、高い確率で少額だし、少ない確率で高額だ。

    ハッターはだんだん眠くなってきた。木の上で寝てしまった。

    ===
    ===

    ●ハンニバル注。

    無知の状態を示す事前分布の選択のルールとして,Jeffreys(1961)は,つぎの二つの提案をしている.
    まず,一つの母数について考えると,

    1. 母数 θ について,θ ∈ (−∞, ∞) のみの情報があるとき,事前分布は一様分布となる.

    p( θ ) ∝ const

    1. 母数 θ について, θ ∈ (0, ∞) のみの情報があるとき, θ の対数が一様であるような事前分布を考える.すなわち, p(logθ) ∝ const であるから,
      変数変換すれば,
      p( θ ) ∝ 1/θ

    これを援用すれば、
    伯父さんの予算がαである確率と、その2倍の2αである確率との比は、2:1 と見積もれます。

    予算が300ダルである確率を、予算が600ダルである確率の2倍とみなすことには、そこそこの合理性があるのです。

    今、手元の小切手が200ダルのときには、予算が300ダルである可能性のほうが、予算が600ダルである可能性よりも大と考えて計算すると…あーら不思議、小切手を交換してもしなくても同じという結論になります。

    ダルとディルとの組み合わせばかりでなく、円とドル、ポンドと元、などいろいろな為替レートでも、全く同じ結論になる点が面白いです。



  • @Hannibal さん
    これも蛇足ですが、精神物理学の古典中の古典ヴェーバー‐フェヒナーの法則を思い出しました。
    ここから始まった尺度構成上の長い長い論争に、差-比論争があります。
    一対の刺激(A,B)の比較を
    ①A-Bで行っているか②A/Bで行っているか⇔②を対数変換すれば①を誘導できますので、Trivialな問題とするのが主流ですが、いろいろな尺度構成のギミックを使ってチャレンジしてる方もいます。



  • @ソム さん

    ありがとうございます。

    >2と1/2の単位量が違うので、(2+1/2)/2とする計算はおかしい(つまり、異なる単位の値を足し算している 例:1m+1フィート)ということです。

    >(2+1/2)/2とする計算はおかしい

    は、感覚的にわかるのですが、説明するとなるとよくわからないのです。
    10000ダル=20000ディル
    10000ダル=5000ディル
    で、ディルとディルなので、、、元になるのも10000ダルで同じ、、、???
    増えるときは10000増え、減るときは5000減る、つまり差を考えると5000プラスとなる、、、???

    「量」と「率」がよくわかっていないのでしょうか?
    幼稚園児にもわかるように、どなたか教えてください。

    Riffraffさんの「差-比論争」、興味深いけれど、難しそうですね。



  • @オメガ3 さん
    私も、頭の中が整理されていないのですが、説明を考えてみました。

    最初の問題の時、私がノートを持ち出したのは、問題の中に「価値」の概念が説明されていなかったからです。
    お金は何かを買った時に「価値」が存在します。
    たとえば、二人でダル交換所(ダルにしか交換してくれないところ)に出向きます。
    ダムは10000ダルを手にし、ディーは20000ダルの可能性と5000ダルの可能性が半々です。
    ディーの期待値は12500ダルでダムより多くなります。
    しかし、ダルで何かを買う時の価値がどうなっているのかが不明なのです。
    ダルに「価値」が存在しなければ単なる紙切れに過ぎません。

    伯父さんが渡したお小遣いは、10000ダルでノート2冊が買え、10000ディルでは何冊か不明というようなダルの価値が固定された条件があれば、ディルで貰ったほうが有利です。
    しかし、ディーが20000ダルを手にした時と5000ダルを手にした時とで伯父さんが渡したお小遣いの価値が変動します。
    一方、伯父さんが二人に渡したお小遣いの価値が一定であれば、ディーが20000ダルを手にした時と5000ダルを手にした時とで「ダルの価値」が異なるため、単純にディーが持っているダルの値で比較ができなくなります。
    たとえばディーが20000ダルを手にした時には、ノートを2冊買えて10000ダルを持っているダムは1冊(二人合計3冊)
    ディーが5000ダルを手にした時には、ノート1冊買えて、10000ダルを持っているダムは2冊(合計3冊)
    のようになるからです。

    次に伯父さんの総額が変動する設定では、ダルとディーの変換とは相関がないので、伯父さんがお小遣いを渡した時点で総額の価値は決定していてその中で二人の取り分を考えることになり、「二人に渡したお小遣いの価値が一定」の時の考えでよくなります。

    P.S.
    読み返してみると、オメガ3さんのコメントと同じことをくどくど言っているだけでした(^_^;)



  • @マーモセット さん

    分かり易い説明ありがとうございます。
    頭の中にかかっていた雲が半分、きれいに無くなった感じです。
    ダルとディルの換算比率と、ダル・ディルそれぞれの価値、もやもやしていたものがスッキリしました。

    もう一つ、分からないことがあります。
    >「2倍」の時と「半分」の時に対応する元のお金の価値がそれぞれ違うので、それを平均してはいけないのではないかと思いました。

    の「対応する元のお金の価値がそれぞれ違う」の部分なのですが、ダルを基準にして考えてはいけないということなのでしょうか?
    何となく、〝平均の平均は平均ではない“みたいなことかな?と思ったりするのですが、どう考えればいいのでしょうか?



  • @オメガ3 さん

    「対応する元のお金の価値がそれぞれ違う」の部分なのですが、ダルを基準にして考えてはいけないということなのでしょうか?

    ディルの価値がダルの「2倍」の時と「半分」の時とで考えるなら、元のお金とは「ダル」になります。
    この「ダル」の価値が「2倍」の時と「半分」の時とで違うということです。

    「2倍」の時と「半分」とでは、額面上同じ10000ダルと書かれていても、同一の買い物ができません。

    10000ディルを20000ダルに交換してくれる世界では、10000ダルでノート1冊しか買えず
    10000ディルを5000ダルに交換してくれる世界では、10000ダルでノート2冊が買えます。

    つまり違う世界の通貨を合わせてはいけないということになるでしょうか。(少し意味不明な説明になってしまいました)


  • Global Moderator

    ソムさんはヤマネに別れを告げ帰り道を歩いていた。ソムさんは考える。ダムとディーの話を聞いたときは、なるほどもっともだと感じた。ヘア教授の話を聞いた後は、それが正しいような気がした。ヤマネの話を聞いたあとは、その通りだとおもった。なんて影響されやすいのだろう。そういえば、ヤマネと話していたとき、「世界はそういうふうに出来ている」という小さな声が聞こえたような気もする。あれは心の声だったろうか。それとも風の音がそう囁いただけなのだろうか。なんとなく落ち着かないのはそのせいかもしれない。

    ソムさんの中で、絶対と思われていた何かがユラユラと伸び縮みするような、眩暈の感覚があった。道に連なる街頭が大きくなっては、また小さくなって、それは歩いているからだとは分かっても、自分が静止しているのに、電灯だけが大きさを変えているような錯覚を覚える。以前のお茶会で、ヘア教授が言ってたっけ。最近、物理学の面白い論文が発表されたそうだ。なんでも、長さや時間というのは、絶対のものでなく、観察者の運動に依存する相対的なものに過ぎないという説らしい。ハッターはそんなことは当たり前とコメントしていたけど。長さの大小関係なんかも変わってしまうのかもしれない。「世界はそういうふうに出来ている」。

    いやいや! ソムさんは頭を振って、妄念を振り払う。こういうときには、自分の心の声を聞いてみるのも良いかも知れない。今自分が一枚の金貨を持っているとする。目の前には箱が二つ。片方の箱には百枚の金貨、片方の箱には金貨の切れ端1/100が入っている。どちらの箱にどちらが入っているかは交換後にしか分からない。さて金貨一枚と一方の箱を交換するか? それは当然、交換するだろうなと思う。一枚の金貨が1/2の確率で百枚になるなら、儲けものだろう。この状況と、ダムとディーそれぞれにとっての状況とは、何が違うのだろう? ソムさんの頭の中で金貨が輪になってぐるぐると回りだす。ソムさんはそのまま気を失って倒れ込んでしまう。



  • @マーモセット さん

    説明ありがとうございます。
    でもまだ苦戦しております。

    伯父さんが渡したお小遣いの価値が一定であるときには、
    ダルとディルの価値が相対的に変化するから、
    ダルを基準にして(2+1/2)/2と計算するのはおかしい、はよくわかりました。
    ダムとディーのお小遣いをノートの冊数に換算すると、(1,2)(2,1)となり、チョコレートと同じになりますね。納得です。

    伯父さんが渡したお小遣いの価値が一定でないときは、、、?
    この場合は、よくわかりません(>_<)。

    ところで、ダムとディーが各自の小切手を交換するのではなく、
    両替所で、ダムがダルをディルに、ディーがディルをダルに両替すると、
    期待値としては、10000ダル→12500ディル、10000ディル→12500ダルになります。
    これを繰り返すと、、、毎回25%増しで、、、
    これは、ありですか?



  • @オメガ3 さん
    横からです
    「両替所で、ダムがダルをディルに、ディーがディルをダルに両替すると、
    期待値としては、10000ダル→12500ディル、10000ディル→12500ダルになります。
    これを繰り返すと、、、毎回25%増しで、、、」
    実際に試してみるのが一番です
    ダル⇔ディル交換率は ①1:2または②2:1です(①と②は同時に生じません.XORです。)
    実際交換してみると
    ①の場合Step1 10000ダル ⇒20000ディル
           10000ディル ⇒5000ダル
        Step2 5000ダル  ⇒10000ディル
            20000ディル⇒10000ダル

    2回で元に戻ります。以下ループです

    ②の場合も同様です。



  • @riffraff さん

    ありがとうございます。
    riffraffさんの頓智解からヒントを得て、
    10000ダル小切手⇒5000ダル小切手×2としました。

    10000ダル=5000ダル+5000ダル
    5000ダル→10000ディル
    5000ダル→2500ディル

    ∴10000ダル→12500ディル



  • @オメガ3 さん

    伯父さんが渡したお小遣いの価値が一定でないとき

    これもどのように一定でないのかが分からないと判断できないですよね。
    前に例として挙げたように、ダルの価値が一定なら、1:1.25 でディルで貰ったほうが得でした。
    しかし、これはあくまでもダルの価値が一定という条件付きの話です。
    ダルからディルに両替して1:1.25の割合で得するためにはディルの価値が一定という条件が必要になり、ダルの価値が一定という条件とは同時に成立しません。



  • @マーモセット さん

    >どのように一定でないのかが分からないと判断できない

    そうなんです。どのように一定でないかがわからないです。
    「ダルの価値を一定にすること」しか思いつかなかったのですが、
    マーモセットさんがおっしゃるように
    「ダルの価値が一定」という条件と「ディルの価値が一定」という条件が同時に成立しない
    ので、
    「お小遣いの価値が一定でないとき」は考えなくてもいい、ということでしょうか?

    ところで、両替所で両替すると、ダル・ディルが市場に増加して、ダル・ディルの価値が低下し、総価値は一定である(大きく変化しない)と考えればいいでしょうか。



  • @オメガ3 さん

    「お小遣いの価値が一定でないとき」は考えなくてもいい、ということでしょうか?

    難しい質問ですね。
    「ダルの価値が一定」⇔「ディルの価値が一定」の状況のどちらが起こりやすいかは出された条件からは判断できないので伯父さんの性格や日頃の行動パターンから推測するしかありません。
    「お小遣いの価値が一定でないとき」の中には、1:1.25の比率(どちらかの価値が一定)以外にも無限に変化できますが、その内のどれになる可能性が他の状況より高いかが分からないのなら取りあえずここでは考慮しないという判断もありだと思います。(これは算数問題レベルでの判断です)
    正解・不正解で判断される問題として出されたなら条件をしっかり付けてほしいと注文を入れます。



  • @マーモセット さん

    毎回、私の拙い質問に丁寧にお答えいただき、感謝いたします。
    私には到底気付くことのできない、深~い回答に、散らかった頭の中が整理される思いです。
    ありがとうございました。


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