ディーとダムかあるいはダムとディーか
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@ソム さんがトウィードルダムとトウィードルディーとの双子を久しぶりに訪問すると、２人ともそれぞれに自分の右手に持った１枚の小切手を見ながら悩んでいる最中だった。
ダムとディーは手元の小切手をひらひらと振ってみせ、「例によって伯父さんがそれぞれにお小遣いとしてくれたんだけど……これが問題なんだ」という。
話をさらに聞いてみると、ダムが持っている小切手の金額の額面は１００００ダル、ディーが持っている小切手の金額の額面は１００００ディルであると言う。
双方の小切手には伯父さんがサインを既にしてあるので、いつでも使おうとすれば有効だ。
「ダルとかディルとか聞いたことがないよ、それは通貨単位なのかい？」とソムさんがつぶやくと、ダムとディーとは異口同時同音で話す。
「僕らにも初耳だったんだ。でも伯父さんがいうには、この２つの通貨の換算レートは……次の二通りのうちのどちらかなんだ。」
伯父さんが書いたメモがあった。
① １ダル＝２ディル
② ２ダル＝１ディル①と②と、どちらがおこりやすいかについては公平だと考えたまえ。
これを聞いてソムさんは考えた。双子に不平等にお小遣いをあげるものなのだろうか…伯父さんの教育方針にはツッコミどころがありそうだ……ソムさんが眉をひそめていると、双子は再びソムさんに語ってきた。
「でね、伯父さんが言うには、２人で相談して同意が得られれば、お互いが持っている小切手を交換してもいいよと。」
ソムさんは思った。
（なるほど、ある意味では、公平なのかもしれないな）すると思考を割るような大声で
「大問題でしょ？ソムさん」
と聞こえてきたので、慌てて聞き返す。「え？どうしてだい？」
ダムが言う。
「伯父さんが交換しても良いというから、僕がもらった１００００ダルとディーがもらった１００００ディルとでどちらが得なのか考えたいよね」
ディーも言う。
「肝心なことを言うけど、僕も似たように考えるよ」ソムさんは双子をみつめた。
ダムが言う。
「換算レートでは、さっきのメモの①か②かはフィフティフィフティの確率なので…僕の１００００ダルと比べるには、ディーの１００００ディルは確率１/２で５０００ダルの価値があり、確率１/２で２００００ダルの価値があるんだ。１００００ディルをダルに換算したときの期待値は１２５００ダルだよ。ディーの小切手の方が価値があるよ、２５％増しだ。」今度はディーが言う。
「全く同じ理屈で、ダムの１００００ダルをディルに換算したときの期待値は１２５００ディルだよ。ダムの小切手の方が価値があるよ、２５％増しだ。」
２人は同時に言う。
「僕らは小切手を交換すべきなんだ。」
「そして小切手を交換したのが１時間前。交換しおえた後にあらためて相手がもっている小切手の額面の期待値を計算したら自分が持っている小切手の額面の２５％増しだったんだよ。」
「だから僕らは小切手を再度交換すべきなんだ。
」
「そして小切手を交換したのが３０分前。」ソムさんは双子をニコニコしながらみつめた。
「息が合うねえ」とつぶやきながら。
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いえ、パズルではないです、雑談です。私は答えを持ち合わせませんのでして。
以上、ソムさんに捧げます。
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《ディーとダムかあるいはダムとディーか》
あるいは
《２つの通貨単位のためのエチュード》
……この問題は私が変奏曲として作ったものでして、原曲は「二封筒問題」という作品です。
よくまとまっている記事として以下の関先生によるものをご案内いたします。◆二封筒問題
https://researchmap.jp/johlh1mbq-1933868/「二封筒問題」を考えあぐねた私はひとつの確実な答えを導けるように《２つの通貨単位のためのエチュード》を作曲しましたが…意外なことに視点によるのでしょう、理解の仕方が複数あるようです。
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@Hannibalさん 2つの封筒問題、私には昔から？？です
言うまでもなくｍ倍と1/ｍ倍である限りその中点は（ｍ＾２+1）/2ｍで≧１です。
表題のような形式にし、期待値（中点）をとり、それに頼ると、どちらも交換を選択が正しくなるのは自明。しかし・・・
主観確率の問題ではないかとも思います。(;'∀')
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私は期待値の概念がよく分からないので、なんとも狐につままれたようなお話ですね。
伯父さんの出費で考えると、例えば、どちらかがノート２冊、もう一人がノート１冊が購入できるだけのものを与えたとすると
1ダルがノート1冊相当か2冊相当かのどちらかで
交換しても同じ割合になるので、どちらも同じなんですよね。
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@riffraff 続きです
端的に言えば精神物理学の古典課題、1対比較の問題ではないかと考える時もあります。一例＜単なる例示：根拠はありません＞
選択した方の金額B、選択しなかった方の金額AまたはA'（A<A'）として
「（B--A）/（A’－B）の値が上下の閾値を越えると選好が生じ、閾値の範囲内では選好が生じない」
数学的にはナンセンスですが、高等動物の迷路選択問題でも生じますし、経済的選択行動としては検討に価すると思います。
6.03.0.39修正
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riffraffさん、マーモセットさん。
ご意見を有難うございます。主題のこの問題ですけれども、《実は設定が不足しているから解けないよね？》という意見もあるようです。
そしてどんな設定が足りないのかについてもコンセンサスは無く……
ここでディーとダムの物語に【ひとつの】設定を追加してみます。ご意見をください。
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伯父さんは、二人にあげるお小遣いの金額を以下のように定めました。
二人に与える小遣いの合計は、３００ギルまたは６００ギルのどちらか一方とすることに決定します。
ギルは伯父さんやディーとダムとが普段使っていてよく価値がわかっている通貨です。
肝心なことですけれども、通貨単位ギルと、小切手に書かれた通貨単位であるディルやダルとの間での換算レートについては、伯父さんは知っていますが、ディーやダムにとっては未知です。
サイコロを振り、１,２,３,４が出たら合計３００ギルを２人の小遣いとします。
サイコロを振り、５,６が出たら合計６００ギルを２人の小遣いとします。
３００ギルであれ６００ギルであれ、いづれにしても、この額面を１対２の比率で分割します。
分割した額面をギルを単位とした小切手にしてしまうとつまらないので、伯父さんは一計を案じて、１００００ダルと１００００ディルとの小切手にしました。
ダルとディルのどちらが強い貨幣なのかについて、伯父さんは知っていますし、
ディーとダムとは知りません。ここまで書いたことを、伯父さんはディーとダムとの両名にレクチャーしました。
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以上が追加設定です。
さて、この設定のもと以下のような自問自答がダムに発生しました。
「ボクがもらった小切手の価値はギルで換算すると、１００ギル、２００ギル、４００ギルのどれかだなあ。次の４ケースを考えればいいのかな？
ケース１：ボクが１００ギルでアイツが２００ギルである確率は１/３だなあ。
ケース２：ボクが２００ギルでアイツが１００ギルである確率は１/３だなあ。
ケース３：ボクが２００ギルでアイツが４００ギルである確率は１/６だなあ。
ケース４：ボクが４００ギルでアイツが２００ギルである確率は１/６だなあ。
ええと……ボクの小切手をアイツの小切手と交換したときの利得をギルベースで数えてみようかな。
確率1/3で発生するケース１では１００ギルのプラス、
確率1/3で発生するケース２では１００ギルのマイナス、うーん、
確率1/6で発生するケース３では２００ギルのプラス、
確率1/6で発生するケース４では２００ギルのマイナス……ええと……期待値っていうんだっけ？ 確率ごとに得られる利得を掛けて、全合計を求めてみようか。
(1/3)(+100) +
(1/3)(-100) +
(1/6)(+200) +
(1/6)(-200) += 0
あー、なんだよ、交換しても期待値としては特に損得がないんだなっ。
」
とまあダムは考えたわけです。続いてディーが考えたことをまとめてみます。
「ボクがもっている１００００ディル…これが５０００ダルと価値が等しい確率は１/２じゃないかな。これが２００００ダルと価値が等しい確率も１/２じゃないかな。検算してみようかなあ。
ええと、お小遣い総額が３００ギルであれ６００ギルであれ、それをいったんＭとしておこうか。ボクがもっている１００００ディルが１/３Ｍな確率は１/２だし、２/３Ｍな確率は１/２だ。
アイツの小切手と交換して得になるかどうかだけど、１/２の確率で持ち金が２倍で１/２の確率で持ち金が半分だ。ということは平均して１２５パーセントになるよなあ、交換すべきだろう……いやまて？まてよ？ボクが持っている１００００ディルは、２００ギルだと考えてみる。この２００ギルは、アイツが１００ギル持っている確率が２/３で、アイツが４００ギル持っている確率が１/３なのか……よくわからなくなってきた…小切手を交換すれば……
」
大混乱です。
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@Hannibal さん
頭の整理が必要です(;'∀')すこしじっくり考えてみます。
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@Hannibal さん
大学の講義に小学生が紛れ込んでしまったようで、私がコメントするのも憚られるのですが
私のイメージは、どちらかというとダムの発想に近いです。
伯父さんが２人にくれるギルの総額の期待値は
300ｘ4/6+600ｘ2/6＝400（ギル）
その内自分が得られるギルの期待値は
ダムの発想のケース1～4より、200ギルになるので、「交換したときの利得」まで考えずに交換しても変わらないな、と思いました。
（期待値の使い方が違っていたらすみません）ディーの考えに出てくる
１/２の確率で持ち金が２倍で１/２の確率で持ち金が半分だ。ということは平均して１２５パーセントになるよなあ
については、「２倍」の時と「半分」の時に対応する元のお金の価値がそれぞれ違うので、それを平均してはいけないのではないかと思いました。
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オリジナル問題への頓智解です
二封筒問題は1通貨ですが、今回のバリエーションは2通貨です。
ダムとディーは封筒を開けた後もギルでの価値が分からないままです。
そこで二人のロスをミニマムにする作戦
それぞれ10000ダル小切手⇒5000ダル小切手X2、10,000ディル小切手⇒5000ディル小切手X2に書き換え、
1枚を交換して
ダムとディ0はそれぞれ5000ダル小切手X1、5000ディル小切手X1を持ってギルに交換すればめでたしめでたし。
同額・ロスミニマムを満足します。追加のコメントを踏まえてともロスミニマムとなるかはこれから考えます。直観OKですが(;'∀')
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@riffraff さん、 @マーモセット さん、お二人の考え方の背景には共通点がありますね。
１ダル と １ディル とでは どちらが価値が高いかについて不定性があるために、何かを評価する際には、単独では使いづらい、だから、（ １ダル プラス １ディル ）を単位にして評価しよう、そうすれば、ダルとディルとの間で大小関係に不定性があっても問題が起こりにくい。
…こうした見地にさざ波を立てるために、確率１/３で合計６００ギル、確率２/３で合計３００ギル、といった別の種類の不定性を持ち込んでみたわけです。
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さて、伯父さんが、ディーの耳元で内緒話をささやきました。
「うん、君が持っている１００００ディルは、丁度、２００ギルなんだよ。ギルは普段使っているから、価値はわかるだろう？」
ディーは計算を始めました。
「ええと…ボクが持っているのが２００ギル相当で確定かっ。するとアイツが持っているのは、１/３の確率で４００ギル相当、２/３の確率で１００ギル相当だな。期待値（平均）を計算してみるかな。」
１/３ × ４００ ＋ ２/３ × １００ ＝ ２００
「なあんだ、アイツが持っている小切手の額面の期待値はボクのと同じで２００ギルだ。だったら無理して交換しなくてもいいなあ。」
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私が不思議だと思うことのひとつが、伯父さんによる新たな情報、すなわち、「うん、君が持っている１００００ディルは、丁度、２００ギルなんだよ。」が、まったく効いてきていないように見えることです。
私が不思議だと思うことのもうひとつが、
二つの通貨単位を持ち込んだこの問題と、元の二封筒問題とで、結論が違うようにみえることです。
元の二封筒問題では交換したほうが得、というのが有力説なのですが、こちらのディーダムでは、交換してもしなくても変わりがない、といった結論になりやすい（ように作問したわけですが）
のでした。
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@Hannibal さん
以上、ソムさんに捧げます。
こんばんは。ソムさんにはまだレクイエムは必要ありません（笑
心配のメールありがとうございました。遠いところ？から帰ってきました。多忙な１か月でしたが、進展もあります！
・フォーエバー現代美術館（ＦＭＯＣＡ）に行きました！
・「The Design and Engineering of Curiosity」が届きました(分厚い)！
・@riffraff さんが以前紹介されていた「敵は海賊」シリーズを読みました！
・絵も描きました（謎）。不在中にも皆様の書き込み感謝します。ぼちぼち報告していきます。
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@ソム さん
書き込みがなくて、心配していました。
戻ってこられてホッとしています。ε-(´∀｀*)ﾎｯ
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@マーモセット さん
ふふふ元気です。どうもご心配をおかけしました。また、音沙汰のない時が出て来ると思いますが、そのときは、
Ａ．パズルを解いたりする余裕もないほど別の難問に取り組んでいる。
Ｂ．能力を超えた難しいことを考えすぎて、ついに脳が焼き切れてしまった。のどちらかだと思います。Ａの場合は余裕が出たら戻ってきます。Ｂの場合には、戻ってこないか、戻ってきてもアホになっていると思います。そこらへんで判断して下さい。
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@ソム さん
お帰りなさい＆お久しぶりです。(^^♪
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@ソム さん
おかえりなさい。嬉しい＼(^o^)／です。
私もご無沙汰していますが、私の場合は「脳が焼き切れて」しまいました(>_<)。
今後もソムさんはじめ皆さんの書き込み、楽しみにしています。
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ソムさんだー
これからもソムさんが長期不在の場合にはソムさんが登場する問題を提示いたしまして召還魔法に代えさせて頂きます（努力目標
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双子たちの嬉しそうな顔を思い出しながら、ソムさんは帰り道を歩いていた。するといつもの木の下のテーブルに、いつものように兎のヘア教授がお茶を飲んでいるのが見えた。
ソム「こんにちは、今日はお一人なんですね」
ヘア教授は無言のまま上目遣いでこちらを見ると、頭に乗せている鳥の巣のような帽子にちょっと触って、あごでテーブルのほうを示した。ソムさんは、座ってもよいという意味と勝手に判断して、席に着く。
ソム「お茶をいただいてよいでしょうか？」
ヘア教授は「どうぞどうぞ」と言って、「えらく楽しそうですな」と、あまり楽しくなさそうな表情で言う。
ソム「いま、トウィードルダムとトウィードルディーの双子の家に遊びにいって、面白いことを聞いてきたのです」。ヘア教授に、さきほどの奇妙なお小遣いの話をする。ヘア教授は頷いて聞いている。
ヘア教授「なるほど、単位の問題ですな。ダルを通貨単位としたときと、ディルを通貨単位としたときで、小切手を交換するときの損得が変化するというわけですな」
ソム「そういうことになるのでしょうか。確かに、ダル小切手を持っているダムにとっては、ダル通貨基準だと、自分が１として、相手のディーが期待値１．２５、ディル通貨基準だと、相手が１として、自分は１．２５になりますね。どちらの通貨で考えるかによって、大小関係が変わりますね」
ヘア教授「それでどう思われますかな？」
ソム「まあ、通貨なんてものはそういうもんじゃないでしょうか」
ヘア教授は目をギロリと光らせ、「いやいや、そんなわけには行きませんな」と続ける。「全ての事象は、我々がどう位置づけようが、物理現象なわけです。単位は量を記述するときの物差しにすぎない。ある物の長さを我々がサンチマン単位で測ろうが、別の惑星で、例えば、仮にセンチメートルというヘンテコな単位があって値が変わったとしても、それらによって記述される物理法則が変わってはおかしい。測る単位によって、物の大小が逆転することがあってはならんですな」。教授はいつになく饒舌だ。
ソム「そう言われればそういう気もしますが」
ヘア教授「つまり、『１ダル＝２ディル』と『２ダル＝１ディル』が等確率で成立するということはありえない、または、どちらの通貨も価値が０ということになりますな。後者の場合には大小関係は逆転しませんからな」
かわいそうに、双子達は伯父さんに紙くずを掴まされてしまったのだろうか。ソムさんは反論したくなった。
ソム「しかし、通貨が物理現象であるというのは飛躍があるのではないでしょうか？」
ヘア教授「通貨価値が目に見えないので自信が持てないのですな。例えば、伯父さんが双子たちに、小切手の代わりに棒チョコを与えたと考えて見なさい。双子に相手のチョコが見られないようにして、それぞれ１０マンチキンと、１０センチの長さであると伝えるわけですな。単位換算は『１マンチキン＝２センチ』『２マンチキン＝１センチ』が等確率であると伝えたと」
ソム「チョコの交換に関して同じ理屈が成立しそうですね」
ヘア教授「棒チョコに関する情報が不十分で、確率的要素があるわけです。それでも不確定性を含めた事象のモデルが、単位系の取り方で変化してはおかしいですな」
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ヘア教授のお茶会を辞するころには、そろそろあたりは薄暗くなり始めていた。ソムさんがなんとなく腑に落ちない感じを抱きながら、帰り道を歩いていると、ちょっとした屋敷の前庭に、覚えのあるシルエットが見えた。パイプをくゆらせている。
ソム「これは、ヤマネさんじゃありませんか。こんばんは」
普段は、ヘア教授のお茶会での、ぐったりとしたような寝ぼけた姿しか見たことがなかったため、意外な印象を受けた。「今日は珍しくお茶会でお顔を拝見しませんでしたね」
ヤマネ「ははは、いや、特別な理由があって、家を離れられないのです」
そういえば、明かりのついた屋敷の窓から、ぱたぱたと走り回る音やキャーといった声がひっきりなしに聞こえて来る。
ヤマネ「うちには姪が７人居るのですが、１日おきに生まれたのです。誕生日が連続してこの一週間は、メデタイというか、騒がしいというか、毎日がパーティです」
ソム「いや、たいへんですね」
ヤマネ「ははは、いまようやく抜け出してきて、一服しているわけです」
ヤマネがいつもと違った雰囲気を漂わせていたので、ソムさんもいつになく話し込んでしまう。「さっき、ヘア教授と会ってきたのですが」と、トウィードルダムとトウィードルディーのお小遣いの話をした。
ヤマネ「教授らしい答えですね。あの人は尤もらしい説を作るのが上手いですから」
ソム「ヤマネさんはどう思いますか？」
ヤマネ「ボクはヘア教授やハッターさんたちのようには賢くないので、いつも、順番に、ひとつひとつ考えるようにしています」
ソム「『１ダル＝２ディル』と『２ダル＝１ディル』が等確率で成立するということはありえないのでしょうか？」
ヤマネ「せっかくなので、さきほど出てきた、棒チョコの例で考えて見ましょう」そういって、窓の明かりのそばにいくと、棒で花壇の端の湿った地面におおよそ以下のような図を描いていった。
ヤマネ「トウィードルの伯父さんが用意した棒チョコは２本あって、片方が片方の２倍の長さだとしてよいでしょう。それらを、ダムとディーのどちらに与えるかは、最初から決まっていたのかもしれないし、サイコロで公平に決めたのかもしれません。ここでは、サイコロで決めたとして、ありえた２通りを描いています。そして、１０マンチキンと１０センチの換算係数も、２通りありえて、それぞれの場合に応じてどちらの棒チョコが１０マンチキンの長さになるのかが決ります。伯父さんの言うように、これも公平に決めるとすると、このように、２かける２の４通りの場合があります。これらが等確率で生じます」
ソム「思ったより複雑ですね。この矢印はなんですか？」
ヤマネ「これは、既に判明していることとして、ダムが１０マンチキンの棒チョコを貰ったことを示しています。つまり４通りのうちの、ありえるのは上段の２通りに絞られました。この２つが等確率になるということでですね」
ヤマネ「さて、ダムにとって、棒チョコをディーと交換するほうがよいのかどうか。ダムが貰ったのは、長さ２の棒チョコと、長さ１の棒チョコが等確率でありえます。すると、現在の棒チョコの長さの期待値は（２＋１）／２＝１．５です。そのとき、ディーの持つ棒チョコも長さ２と１が等確率ですので、期待値は長さ１．５です。つまり、ダムにとって、ディーと棒チョコを交換してもしなくても、長さの期待値は変わりません。それはディーにとっても同じです」
ソム「なぜヘア教授のところで、等確率がありえないという話になったのでしょうか？」
ヤマネ「期待値が１．２５とした前提がおかしかったのかもしれませんね」
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大学の講義に幼稚園児が紛れ込んで申し訳ありませんが、
皆さんの考えをつまみ食いしてみました。ダルとディルの場合
(1, 2)(1, 1/2)が同じ確率で存在する
チョコレートの場合
(1, 2)(2, 1)が同じ確率で存在すると考えると、チョコレートの場合は、総量が変化していませんが、
ダルとディルの場合は、総量が変化しています。二人に与える小遣いの合計を300ギル or 600ギルと決定すると、期待値に矛盾がなくなりました。
不足していた設定は、総量を決めることかも？と思います。総量が変化しなければ、ヘア教授の発言が成立します。
＞ソム「しかし、通貨が物理現象であるというのは飛躍があるのではないでしょうか？」
ソムさんがおっしゃるように、通貨は量ではなく価値だから、二つの通貨単位で換算する場合には、総量(総価値)を設定することができなくて、混乱するのではないかと思うのですが、、、よくわかりません。
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@オメガ3 さん
通貨だと総量がはっきりしないので混乱するというのはそうですね。しかし、通貨でも価値には総量があるはずですね（ダムやディーが交換を悩む間に為替が変化するような急激なことがなければです）。
現時点での私の考えは、このパラドックスのように見えるものが発生する原因は、ヤマネが言うように期待値を１．２５倍と計算するのが誤っているからというものです。ダムにとって、ディーの持つ小切手の価値は、自分の持つものの２倍と１／２倍が等確率です。そこまでは良いです。しかし、それら２と１／２の単位量が違うので、（２＋１／２）／２とする計算はおかしい（つまり、異なる単位の値を足し算している 例：１ｍ＋１フィート）ということです。その意味では、ヘア教授の言うように単位にまつわる問題でもある思います。つまり、マーモセットさんのおっしゃった『「２倍」の時と「半分」の時に対応する元のお金の価値がそれぞれ違うので、それを平均してはいけない』、これが全てと思っています。
