パルパルの実(あるいは重量単位ギラムの由来)



  • 結構な力業になりました。算数は使いました数学は(^^♪

    力ずく

    一つラベルを作ります
    100ギラムのパルパルの実:⓪
    101ギラムのパルパルの実:
    102ギラムのパルパルの実:
    103ギラムのパルパルの実:
    104ギラムのパルパルの実:
    105ギラムのパルパルの実:
    106ギラムのパルパルの実:

    は色確定、は色未確定を意味します

    STEP1
    1.
    ⓪~までの和は21です
    までの5個と⓪の1個、計6個を使用するとの制限を加えた場合
    左右の天秤に3個ずつパルパルの実を載せて天秤が釣り合うのは
    左右310ギラム、未使用n01ギラム・・・A
    左右309ギラム、未使用n03ギラム・・・B
    左右307ギラム、未使用n05ギラム・・・C
    の重量の時です

    更に条件を追加します
    左の天秤に⓪を必ずおくこととします。
    以下の3つの場合が残ります
    A ⓪v  余り
    B ⓪v  余り
    C ⓪v  余り

    STEP2
    パルパルの実にラベルをつけます。
    :P0
    :P1
    :P2
    :P3
    :P4
    :P5
    :P6

    もし仮説が正しければP0~P0をA,B,Cの指定に従い対応するPNを置けば天秤は釣り合います。
    しかしAの規則に従ってPNを配置した結果、仮説が間違っていていてもB、Cの結果になれば天秤は釣り合ってしまいます。(規則的な置換で生じることは簡単に例示できます。例 {A→B(65)(31)})

    STEP3
    A ⓪v  余り
    B ⓪v  余り
    C ⓪v  余り

    さて仮説が正しい場合一回目の測定で余ったパルパルの実を左の天秤に持ってきて二回目に天秤を釣り合わせる事が可能なのはCの場合だけです。

    まずまず第一回目にCの順序でPNを並べて、第二回目はBの順序に並べ変えて釣り合えば仮説OKと言いたいところですが、BとCでが同じ側の天秤に二回とも載ってしまい判別不能です。

    STEP4
    そこでBを少しいじります
    ⓪v⓪ 余り・・・B’
     余り・・・B‘’

    これでOK

    解答
    1回目
     
    2回目



  • 回答

    1回目

    端数部分に注目して考えます。
    3個分(天秤の左側)の端数を足したものと1個分(天秤の右側)の端数がイコールになるケースは端数が最少のものから順に3個選び左の皿に乗せ端数が最大の106を右に乗せる以外にないため
    釣り合えば
    =106 ギラム(確定)
    の3つは
    それぞれ101 ギラム102 ギラム103 ギラムのどれか
    の2つは
    それぞれ104ギラム105ギラムのどちらか

    2回目

    右の皿が106 ギラム(確定)のともう1つを合わせて最も軽くなるのは101ギラムと組み合わせた合計207ギラムの時
    左の皿で(101 ギラム102 ギラム103 ギラム)の中の1つと(104ギラム105ギラム)のうちの1つを組み合わせて207ギラム以上により重くなる組み合わせは103 ギラムと105ギラムを組み合わせた時(合計208ギラム)のみ。
    左が重くなる組み合わせは他にはないため
    左に傾けば天秤に乗せたパルパルの実の重さが判明し、同時に乗せなかったものの重さも決まるため
    …… 101 ギラム
    …… 102 ギラム
    …… 103 ギラム
    …… 104 ギラム
    …… 105 ギラム
    …… 106 ギラム
    が確定する。
    よって、1回目で釣り合い、2回目で左に傾けばオズが提示した説が正しいことになり、
    そうならなければ、正しくなかったことになる。


  • Global Moderator

    @Hannibal さん

    この問題は、ソーティング方面に頭が引っ張られますがそれは罠で、組み合わせ問題と考えるべきと思いました。そして、直観的に、2回の天秤操作は両方が釣り合うような場合ではないかと思いました。釣り合わない場合よりも、制約が大きそうと感じたからです。この時点で、だいたい解けたと楽観視していました。

    し・か・し、いろいろ試してみても解が見つかりません。重量の並び方に複数の可能性が残ってしまいます。解はないのではと思いだしました。

    ここらへんで手作業は諦め、ピュータ君に頼ることにしました。その結果、分かったことは、2回天秤が釣合う場合には解はなく、最小でも2つの重量可能性が残るということでした。

    最終的に、天秤が傾く場合も含めすべての可能性を調べました。全部で45150通りの天秤の使い方のうち、2つの異なる解が見つかりました。ズルをして得たので、どのような解であるか、(具体的な実の色は示さず)ぼかして書くことにします。これらの解に理屈でたどり着けたらスゴイと思います。

    解の形

    解1:

    解2:

    :::
    解1を書き間違っていたので、訂正しました(誤記)→(黒)(黒)(*)>(*)(*)(*)


  • Global Moderator

    @ソム が発言 :

    これらの解に理屈でたどり着けたらスゴイと思います。

    あっ! @マーモセット さんが見つけている!(解2のほう)。人間技とは思えません...。

    追加:解2のタイプのほうは、1回目の測定で釣合う場合が極端に限られるので、そこから突破可能なのですね。最初に手作業で考えていたときは、2回目の測定も釣合う場合を探していたので、うまく捌けずに解を見つけられませんでした。ここで天秤が傾く場合にも発想を広げられれば、理屈で解に到達可能なのですね。ムキ~!!!←とマーモさんの解を読んで思いました。

    追加2:@riffraff さんのは、凄い...です。でも、どこかに理屈の抜けがあるんじゃないかと思います。例えば、

    101, 102, 103, 104, 105, 106 ギラム =

    の場合にも、釣合いが生じます。私もこのタイプ(釣合い2回)の解ばかり最初は探していて、最終的にうまく行きませんでした。



  • @ソム さん
    人間ではなくマーモセットですから(^^♪
    ソムさんが

    題意がはっきりしてすっきりしました(笑 パルパルの実の重さが任意だったり、同じ重さのものが複数ありえたりすると、本当に2回で分かるのかなあと疑問でした。解消しました。

    とクールにコメントされた時点では、私はまだ答えにたどり着いていなくて
    きっとソムさんには答えが分かっているのだろう ムキー
    となってました。

    その時点では

    1回目で106ギラムを確定するところまでは出来ていたのですが、そこから先に進めず止まっていたものを再度頭をひねって考えてようやくたどり着けました。
    ムキー効果です(^_-)-☆

    ところで解1の


    は可能ですか?


  • Global Moderator

    @マーモセット さん

    ...は可能ですか?

    ありえませんね。誤記でした。元の投稿を訂正しました。



  • @ソム さん
    B'→B''がorz
    B'では❻❷が確認できず不定

    ご指摘ありがとうございます(^^♪

    <追記>22:43
    置換を「見つけた時」にはやったと思ったのですが( ^ω^)・・・
    今日はここまでとします。DR. JOHN DEEの数学論文などと言う珍奇なものを見つけたので
    これから読むことにしました。読み終えたら感想は私のBLOGに書きます。(脱線続き(;´・ω・))

    <再追記>10.13 15:30
    我ながら虚の対数論争が笑えません(;´・ω・)<謎>



  • 盛り上がってまいりました

    解の形

    ソムさんの解1の二番目の天秤を使うことで可能性が11通りにまで絞られることになります。これは手計算で可能ですので書き上げてみてください。

    コツとしては。
    ソムさんの解1の二番目の天秤の虹色三個組と虹色二個組に注目しておくことにしておいて……
    二個組が207ギルならば三個組は306ギラムでしかありえず101ギラム102ギラム103ギラム限定となり、
    二個組は、101ギラム:106ギラムのペアか、102ギラム:105ギラムのペアか、103ギラム:104ギラムのペアかでしかありえず、実の重さでみたときに二個組と三個組との間でダブルものが出てきて消し込みをかけられる……
    二個組が208ギルならば三個組は307ギラムでしかありえず101ギラム102ギラム104ギラム限定となり、二個組では103ギラム105ギラムのときのみ有り得る………といった具合で、二個組について計207ギラムから210ギラムまで、順に調べていけばかなりのアリエナイが得られて可能性が絞られていく…という感じでしょうか。

    さて。解1の二番目の天秤を使うことで可能性が11通りにまで絞られたのちですが、
    二番目の天秤の右の皿の三つの果実に注目して、この11通りのなかでひとつだけ特色のあるものがあります。その特色を規定するためにソムさんの解1の一番目の天秤を使えると思います。

    間違っていたら教えてください。

    解1:

    追伸:マーモセットさんの解、私が用意していたものと同じです。説明が素晴らしく、感服いたしました。

    :::

    (訂正)状況隠しコメントの内容は間違っていました。
    ウッカリにもほどがあります。

    (再訂正)やっぱりあっていました。なぜ慌てたのか…バカバカバカ(^ω^)



  • 解の形の解1

    私もまず @ソム さんの解1の2番目の
    方に注目し
    右の3個組を左より軽くするためには3個組(右側)に106は使えない

    3個組のすべてを特定するためには、もう1回計る時にそれぞれが同じ条件の場所にはいれないため、右に乗せる、左に乗せる、乗せないに分ける必要がある。

    この時必然的に3個の中の一番重いものが重い側にきて一番軽いものが軽い側にきて、真ん中の重さのものを乗せないことになる。

    左の2個組も同様に、もう1回計る時には軽い方を乗せる(右しか空いてない)、重い方を乗せないに分ける


    左側には105か104(106は使えないため)
    右には101と102 か 101と103
    この辺まで絞り込めれば、条件に合うものをウニウニと探して



    でしょうか?

    修正:各皿の中の並びを重さ順に変えました



  • さきほどの私の投稿にはひどい間違いがありました。つつしんで撤回いたします。
    11通りまでは絞り込めてもそこから先に1通りまで絞るやりかたが不味いです。

    マーモセットさんの解で気がつきました。お恥ずかしい。

    (訂正)の(訂正)

    やっぱり出題当初に用意していたロジックでよかったのでした。撤回を撤回いたします。

    いやあ参りました。

    整理して後日に。


  • Global Moderator

    @マーモセット さん

    Re: 解の形の解1



    でしょうか?

    ピュータ君が得た解と同じです! 解1のほうでも、解の形が予め決っていれば、理屈で解にたどり着くことが出来るのですね。感心しました。何もヒントがない状態から始めた場合には、解1のような形があるということに気づくことが難しいかもしれませんね。全数探索してこの形が出てきたときは驚きました。釣合いを使わないとうまくいかないと強く思い込んでいましたから。


  • Global Moderator

    @riffraff さん
    ドンマイです!



  • @ソム さん

    Re:Re: 解の形の解1 **追記あり**

    何もヒントがない状態から始めた場合には、解1のような形があるということに気づくことが難しいかもしれませんね。

    本当にそう思います。
    ただ解1の答えを

    3個組のすべてを特定するためには、もう1回計る時にそれぞれが同じ条件の場所にはいれないため、右に乗せる、左に乗せる、乗せないに分ける必要がある。

    この時必然的に3個の中の一番重いものが重い側にきて一番軽いものが軽い側にきて、真ん中の重さのものを乗せないことになる。

    左の2個組も同様に、もう1回計る時には軽い方を乗せる(右しか空いてない)、重い方を乗せないに分ける

    のように考えながら感じたことは、最初に計った時に同じ条件にあったものを、次に計る時に別条件として天秤の左右に分けた時、傾きがあったほうが重さの違いで区別しやすいということです。

    解1の上の1:2で分けるケースも、天秤に乗せない3が残っていて、実際は6個を1:2:3に分けています。
    下の天秤上の2:3も天秤に乗せなかったものを含めて 6個を1:2:3に分けています。
    どちらももう一回計る時に3個グループに含まれていたものを、右に乗せる、左に乗せる、乗せないに分ける必要があり、2個グループに含まれていたものも、左右に乗せるにするか、一つは左右どちらかに乗せて1つは乗せないにするに分ける必要があります。
    解1のケースでは、3個グループに含まれたものを振り分けた後には2個グループに含まれていたものが入れる場所が決まるので入れ方に悩む必要がありません。
    私は解2の106の特定を先に見つけたため、それに拘って解をさがしましたが、最初から傾きを利用できることに気付いていたら、解1の方が先にみつかったのかもしれないですね。
    追記
    図を使って補足します。

    最初に6個を1:2:3に分けたものを次のように表します。
    (色は区別するためのものでパルパルの実の色とは関係ありません。)
    同じグループ内では数字が大きい方が重くなります。



    解1では
      余り
    になっています(黒は省略しました)
    これを次に2:3で比べるために振り分けるには
    3個グループから順に当てはめると
      余り ・・・※注1
    になり、必ず入る場所が決まっています。
    逆向きに2:3から1:2にしても同様です。
    ※注1 逆向きに調べると2:3の時の皿の中の重さの順番も決まってくるので、それに合わせて各皿の並び順も軽い→重いの順にしました。
    傾きも1:2なら1の方を重くしないと絞り込めないし、2:3なら2の方を重くする必要があります。
    1:3は1の方を重くするためには101~106の条件ではできないのでこれは対象外になり、傾きだけを利用しようとすると解1のパターンがすぐに浮かんでくると思います。



  • あうあうー

    複数の解のうち、こちらを先に見つけた私はどうやら異常感覚なのだと凹んでおります。早く人間になりたい。

    (ほげ、ふが、ひぐ)<(うご、るが、100)
    のパターンを調べた表をまず提示いたします。

    別表1
    102+103+104 < 105+106+100
    101+103+104 < 105+106+100
    101+102+104 < 105+106+100
    101+102+103 < 105+106+100
    101+102+103 < 104+106+100
    101+102+103 < 104+105+100

    101+103+105 < 104+106+100
    101+102+105 < 104+106+100
    101+102+105 < 103+106+100 *
    101+102+104 < 103+106+100
    101+102+104 < 103+105+100

    ※この並びは趣味です。一応綺麗です。

    ===

    オズの説で101ギラムとされる実を101?、102ギラムとされる実を102?、……106ギラムとされる実を106?と書きます。
    また、真に101ギラムの実を101……真に106ギラムの実を106と書きます。

    1回目の天秤
    101?+102?+105? ∧ 103?+106?+100

    およびに

    2回目の天秤
    101?+103? ∧ 105?+100

    を行い

    101?+102?+105? < 103?+106?+100
    かつ
    101?+103? < 105?+100
    のとき、そしてそのときのみ、

    101?=101
    102?=102
    103?=103
    104?=104
    105?=105
    106?=106

    であると確定します。

    以下、 ◆1 および、 ◆2 で上のことを示します。
    ◆1
    1回目の天秤
    101?+102?+105? ∧ 103?+106?+100

    ◆1・1
    101?+102?+105? > 103?+106?+100
    のとき
    明らかにオズの説は間違い
    ⇒終了

    ◆1・2
    101?+102?+105? = 103?+106?+100
    のとき
    明らかにオズの説は間違い
    ⇒終了

    ◆1・3
    101?+102?+105? < 103?+106?+100
    のとき
    オズの説が正しいか否かは、いまだ不明
    ⇒◆2へ

    ★コメント
    別表1が11ある可能性の一覧です。
    この別表1と比べて1回目の計測結果について以下のように考えていきます。

    左の皿の101?は仮に他の重さならば101よりも重くなりますから分かりやすいように101↑と書きかえます。

    左の皿の105?は仮に他の重さならば105よりも軽くなりますから分かりやすいように105↓と書きかえます。
    ※注。別表1より左の皿に106がくることはありません。

    右の皿の103?は仮に他の重さならば103よりも重くなりますから分かりやすいように103↑と書きかえます。
    ※注。別表1より右の皿に101や102がくることはありません。

    右の皿の106?は仮に他の重さならば106よりも軽くなりますから分かりやすいように106↓と書きかえます。

    (◆1・3での)1回目の計測結果は

    101↑+102?+105↓ < 103↑+106↓+100

    と書き換えられました。

    ◆2
    2回目の天秤
    101↑+103↑ ∧ 105↓+100

    ◆2・1
    101↑+103↑ > 105↓+100
    のとき
    101↑、103↑、105↓のどれかはオズの説から変更になるのでオズの説は間違い
    ⇒終了

    ◆2・2
    101↑+103↑ = 105↓+100
    のとき
    101↑、103↑、105↓のどれかはオズの説から変更になるのでオズの説は間違い
    ⇒終了

    ◆2・3
    101↑+103↑ < 105↓+100
    のとき

    左辺の101↑と103↑とは、これよりも大きくなれません。

    右辺の105↓はこれよりも小さくなれません。

    従って
    101↑=101

    103↑=103

    105↓=105

    が確定します。

    これらを1回目の計測結果に反映しますと以下が得られます。

    1回目の天秤の結果

    101+102?+105 < 103+106↓+100

    さて、102?は既に確定済みの101にはなりえないので102↑と書き換えます。

    101+102↑+105 < 103+106↓+100

    左辺の102↑は、102よりも大きくなれません。

    右辺の106↓は、106よりも小さくなれません。

    従って
    102↑=102

    106↓=106

    が確定します。

    これにて
    101↑=101
    102↑=102
    103↑=103
    105↓=105
    106↓=106
    が確定します。

    104以外が既に確定しましたから最後のひとつ 104? は
    104?=104
    と確定しました。

    ===

    以上で、

    1回目の天秤
    101?+102?+105? ∧ 103?+106?+100

    およびに

    2回目の天秤
    101?+103? ∧ 105?+100

    を行い

    101?+102?+105? < 103?+106?+100
    かつ
    101?+103? < 105?+100
    のとき、そしてそのときのみ、

    101?=101
    102?=102
    103?=103
    104?=104
    105?=105
    106?=106

    であると確定することを示しました。

    ===

    もうひとつの解は後日に投稿いたします。



  • @ソム さんによる命名の解1、解2のパターンの両方ともに、 104?ギラムは天秤の皿に乗せていません。

    ずっと考えているのですけれども私にはこれに複雑で深い理由があるのか、あるいはごくごく簡単な理屈があるのかについて見極めがつきませんでした。

    104?ギラムを天秤の皿に乗せなくてもよいことが自明に近ければ、
    もっとシンプルな「理屈」「説明」が出来てカッコいいと思うのです。

    残念でなりません。

    以下が何かしら関係するのではと山勘なのですけれども。

    引用開始‖
    これにて
    101↑=101
    102↑=102
    103↑=103
    105↓=105
    106↓=106
    が確定します。
    ‖引用終了

    104?を境目にして↑と↓とが別れて分布しています。


  • Global Moderator

    @Hannibal さん

    ↓↑記法を使った議論があたりまえのようで、思いつきにくい思いました。つまり、こういうことですね:

    1. 天秤による比較の形を決める。
    2. 各色の実について、オズ説が正しいとしてみる。
    3. そのうえで、各色の実について、そこからの逸脱が許される重量範囲を調べる(0.からありえるすべての可能性「別表1」を得て、その情報を使う)
    4. 逸脱の範囲がゼロになったとき、オズ説が確定する。

    どうやって「比較の形」を見つけるのか?は分かりませんでしたが、そこからの詰め方は分かりました。

    なぜこの議論が自分には思いつきにくいのだろうと考えたのですが、上のステップの1.が難しいです。私が考えると、まず「別表1」から、

    • 天秤左の実は、相対重量 1,2,3,4,5 のどれか、天秤右の実は、相対重量 3,4,5,6 のどれか

    となります。ここで、各実について可能性が多すぎて詰められないような気になってしまいます。しかし、それはやや錯覚で、例えば天秤左の実は、どれも重量のとりうる範囲は同じなので、「オズ説が正しければ相対重量1の実、2の実、5の実」と個性を与えても一般性を失わないということですね。そうすると、その時点で、相対重量 1↓の実、2↓↑の実、5↓の実と書くことが出来るようになります。天秤右の実も同じです。そうやって個性を与えると、第2の天秤操作が、

    101↑+103↑ < 105↓+100

    のような形で書けるようになります。これを見ると、多くの可能性があったようで、じつはそうでもないことが分かります。

    話を広げると、たとえば「お絵かきロジック」のようなパズルでは、

    1. 制約(この場合はパズルの「ヒント」)から「別表1」のような全可能性を書き出し、どの場合でも変わらないマスの色を確定できる。
    2. マスの確定により、制約が更新される(例:横の制約から確定されたマスが、縦の制約に影響する)。
    3. 1 に戻る。

    この繰り返しで、どんどん機械的にマスの色が確定されていき、最終的に全確定となることがあります(ただし、「お絵かきロジック」では、ある所で確定が1マスもできなくなり、それ以上進めなくなる問題もあるようです)。この制約と確定の繰り返し作業を、↓↑記法が助けるのだと思いました。


  • Global Moderator

    雑談です。「オズの魔法使い」は、幼稚園の先生が絵本版を読んでくれて、その印象がずっと残っています(笑 たしかそのあとに、そこからの題材で絵を描くという課題?でした。そのとき何を描いたのかは全く憶えていませんが、エメラルド・グリーンという色がマイ・ブームになって、その種の緑ばかりを絵で描いていたような記憶があります。「今回の挿絵」で題字に使った色が Emerald Greenなのですが、全くそんな感じは出ませんでした(笑

    次に、オズに出会ったのは、ラジオの英会話講座でしょうか。「トト、ここはカンザスじゃない感じがするわよ」という有名なセリフです。

    今回の「オズ」はパラレル・ワールドらしく、ちょっと違いますね。ドロシーはどこへ行ってしまったのでしょうか(笑



  • 追記されているのですね、マーモセットさんの

    http://expo70.xyz/forum/post/1443

    の解説が素晴らしいですね。

    ここでいう、いわゆる解1は理詰めで自然に出てくると。

    ===

    私はというと初めは
    101?+102?+103?+104? < 105?+106?+100+100
    から試みました。
    この不等号が成り立たないようならばオズの説は間違いだとすぐにわかりますが、成り立ったときに、101?、102?、103?、104? の間の入れ違いの有無と、105?と106?との間の入れ違いの有無とを同時に調べるための天秤が、あと1回コッキリではとても無理…で撃沈しました。
    ただ、不等式を上手に使えればまだなんとかなるのではないかとの発想は残りました。

    左の皿に多目の個数のパルパルの実を乗せ、右の皿には少な目の実を乗せ、右の方が重いとすると、
    左の皿の上限が絞られ、右の皿の下限が絞られるわけです。

    無論、これだけの発想だけではダメでしたが。

    先に提示した別表1をもう一度ごらんください。

    ひとつだけアスタリスクがついています。

    これ、左の皿の最大値が11の候補の中で最大であり、右の皿の最小値が候補の中で最小です。

    なぜこれでうまくいくのかよくわかりませんでしたが、他の10例では2番目の天秤をうまく設計できませんでした。

    ソムさん、舞台裏を明かせば単なる試行錯誤だったのです。アスタリスクのやつはなんと一番最後に試しました。

    ===

    マーモセットさんの理詰めに勲章を差し上げたい気持ちです。

    ===

    @ソム さん、ドロシーはですね、とんと忘れていました。きっとスピンオフです。



  • それでは解2をば。

    オズの説で101ギラムとされる実を101?、102ギラムとされる実を102?、……106ギラムとされる実を106?と書きます。真に101ギラムの実を101……真に106ギラムの実を106と書きます。

    1回目の天秤
    101?+102?+103? ∧ 106?+100+100

    およびに

    2回目の天秤
    103?+105? ∧ 101?+106?

    とを行い

    101?+102?+103? = 106?+100+100
    かつ
    103?+105? > 101?+106?
    のとき、そしてそのときのみ、

    101?=101
    102?=102
    103?=103
    104?=104
    105?=105
    106?=106

    であると確定します。

    以下、 ◆1 および、 ◆2 で上のことを示します。

    ◆1
    1回目の天秤
    101?+102?+103? ∧ 106?+100+100

    ◆1・1
    101?+102?+103? < 106?+100+100
    のとき
    ⇒ 左辺は306以上であり、それよりも右辺が大きくなることはありえません。 考慮しなくてよいです。

    ◆1・2
    101?+102?+103? > 106?+100+100
    のとき

    明らかにオズの説は間違い
    ⇒終了

    ◆1・3
    101?+102?+103? = 106?+100+100
    のとき

    オズの説が正しいか否かは、いまだ不明
    ⇒◆2へ

    ★コメント
    左辺は306ギラム以上あるので右辺の106?は106よりも軽くはなりえないです。
    従って
    106?=106
    と確定します。

    また同時に左辺は306ギラム丁度になるとわかりました。

    従って左辺は
    101、102、103の3個の実からなります。(順不動)

    左の皿の103?は仮に他の重さならば103よりも軽くなりますから分かりやすいように103↓と書きかえます。

    左の皿の101?は仮に他の重さならば101よりも重くなりますから分かりやすいように101↑と書きかえます。

    さて、ここまでで101、102、103、106が天秤に乗っていることがわかりましたから、
    天秤に乗せられていない104?は104または105です。分かりやすいように104↑と書きかえます。
    また、105?は105または104です。分かりやすいように105↓と書きかえます。

    (◆1・3での)1回目の計測結果は

    101↑+102?+103↓ = 106+100+100

    と書き換えられました。
    また、天秤に乗せられていない実として 104↑およびに105↓があります。

    ◆2
    2回目の天秤
    103↓+105↓ ∧ 101↑+106

    ◆2・1
    103↓+105↓ < 101↑+106
    のとき

    明らかにオズの説は誤り。
    ⇒終了。

    ◆2・2
    103↓+105↓ = 101↑+106
    のとき

    明らかにオズの説は誤り。
    ⇒終了。

    ◆2・3
    103↓+105↓ > 101↑+106
    のとき

    右辺は107以上ですから、それよりも大なる左辺は108以上です。
    103↓+105↓が108以上となるので以下が確定します。
    103↓=103
    105↓=105

    同時に左辺が108丁度とわかりました。
    従って右辺は107丁度とわかりました。
    ゆえに以下が確定しました。

    101↑=101

    これらを1回目の計測結果に反映しますと以下が得られます。

    1回目の天秤の結果
    101+102?+103 = 106+100+100

    これより
    102?=102
    が確定しました。

    残る104↑は、105が既に確定していますから

    104↑=104

    が確定しました。

    ===

    以上で、

    1回目の天秤
    101?+102?+103? ∧ 106?+100+100

    およびに

    2回目の天秤
    103?+105? ∧ 101?+106?

    とを行い

    101?+102?+103? = 106?+100+100
    かつ
    103?+105? > 101?+106?
    のとき、そしてそのときのみ、

    101?=101
    102?=102
    103?=103
    104?=104
    105?=105
    106?=106

    であると確定することを示しました。

    ===



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